Exo fonction TS

[invite993c6ff8]

Bonjour,

Voila quelques heures que je cherche comment résoudre cet exercice.
La question paraît toute bête, mais ca fait plus d'un an que je n'ai pas eu à résoudre cette question.

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0;2] par:

f(x)= (2x+1)/(x+1)

1- Etudier les variations de f sur l'intervalle [0;2]

J'ai essayé en calculant la dérivée, mais j'obtiens 1/(x+1)² qui au lieu d'être croissante comme f, est décroissante... :S

donc j'ai essayé d'utiliser une autre méthode:

a<b où a et b appartiennent a [0;2]

2a<2b
2a+1 < 2b+1

mais si je continue, ça devient décroissant aussi...

Quelqu'un pourrait m'aider svp?

Merci d'avance.
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[invitee93ed471]

Moi avec la dérivée je trouve que la courbe est toujours du signe positif...

J'ai 1/(x+1)^²

Comme 1 est une constante c'est toujours positif, -1 est la valeur interdite et un carré est toujours positif.

Voilà

[invite103b4423]

Salut, t'as derivé est juste mais ta fonction est simplement croissante. Tu obtiens bien t'as dérivés donc f'>0 d'ou la fonction est croissante. f(0)=1 et f(2)=5/3. C'est donc bien une fonction croissante. Tu confonds le signe de la dérivée , la fonction croissante et décroissante et la nature décroissante ou croissante de la dérivée. cela n'a aucun rapport.Si tu veux avoir la nature de la dérivée , il te faut alors le signe de la dérivée seconde . La seul conséquence c'est, quand la dérivée est positif la fonction est croissante dans l'intervalle et quand la dérivée est négative la fonction est décroissante dans cette intervalle.

[invite993c6ff8]

Ah oui d'accord! Merci beaucoup à vous deux, j'ai compris mon erreur!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite993c6ff8]

Après, je dois montrer que si x appartient à [1,2] alors f(x) appartient à [1,2]

Est-il suffisant de calculer f(1) et f(2) ,de dire que les résultats appartiennent bien à [1;2] et que comme la fonction est croissante, f(1)<f(x)<f(2) ?

[invite103b4423]

Oui c'est un thèorème des suites je crois en TS. Mais c'est suffisant

[invite993c6ff8]

Encore merci Fubu

[invite993c6ff8]

Visiblement cet exo ne me réussit pas...

On me ( Vn) est 1 suite définie sur N par:

V₀= 1 et pr tt entier naturel n, V_n+1= f(V_n)

Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que:

Pour tout entier naturel n, 1<V_n< 2 ( les deux sont supérieurs ou égaux mais je ne sais pas comment mettre la petite barre)

J'ai écrit:

On pose Pn, la proposition: 1<Vn<2
On vérifie que P₀ est vraie.

V₀=2 donc 1<V₀<2. Ainsi P₀ est vraie.

On suppose que pour un entier n>0, Pn est vraie, c-a-d que 1< Vn<2 est vraie

On démontre als que P_n+1 est vraie, c-a-d que 1<V_n+1<2

Vn+1= f(Vn)= (2Vn+1)/(Vn+1)

Je sais que je dois utiliser 1< Vn<2 mais je suis bloquée dans ce que j'essayais de faire, c-a-d:

1< Vn<2
2< 2Vn<4
3< 2Vn+1<5

Mais je ne peux pas aller plus loin...Quelqu'un pourrait-il me mettre sur une piste?

Merci d'avance

[invite993c6ff8]

Ca doit avoir rapport avec la 1re question puisque si Vn+1= F(Vn)

1<Vn+1<2, ca veut dire que x appartient à (1,2] et donc que f(x), qui est égal à Vn+1 appartient à [1,2]

Seulement, je ne trouve pas mon chemin!

[invite993c6ff8]

Ah, je crois que je tiens la solution!

[HarleyApril]

Oui c'est un thèorème des suites je crois en TS. Mais c'est suffisant

bonjour
il s'agit plutôt du théorême des valeurs intermédiaires
enfin, c'est ce qu'il me semble ...

cordialement