Révisions sur les fonctions

[invitefffafb2f]

Bonsoir,

Je suis en TS, nous faisons des révisions, et je patoge en cette période de rentrée
Nous avons un long DM et 2 quesitons me posent problèmes
Merci de me fournir quelques pistes (j'arrete pas de gratter mais j'y arrive pas)

J'ai une fonction :
f(x)= (X²-4x²+8x-4)/(x-1)²
Je dois démontrer que f'(x)= (x²(x-3))/(x-1)^3 pour tout x de R-{1}

Et l'autre question c'est que je dois montrer que f(x)=(ax+b)+(cx+d)/(x-1)²
Là aussi je trouve pas comment faire, j'ai essayé de mettre tout au même dénominateur, mais j'ai finis (en simplifiant) par revenir à là même chose... Je voudrais savoir comment identifier les coefficients a, b, c et d ?
Je suis sur ce devoir depuis actuellement 2 jour et je n'arrête pas avec les brouillons...

Merci d'avance et bonne nuit
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[cedbont]

Bonjour,

tout d'abord, je pense que tu as fais une erreur en recopiant l'énoncé qui doit plutôt être : f(x) = (X^3-4x²+8x-4)/(x-1)².

Pour la première question tu dois pouvoir résoudre ça toi-même : tu as une fonction sous forme de quotient à dériver. Comment dérive-t-on une fonction quotient écrite sous la forme g = u/v ? N'y aurait-il pas du g' = (u'.v-u.v')/v² dans l'air ? Tu peux aussi remarquer que la solution qui t'es proposée met au dénominateur du (x-1) à la puissance 3. Or la formule que je t'indique tendrait plutôt à mettre ce facteur à la puissance 4. Ne t'inquiète pas, voici un conseil pour gagner du temps : ne cherche pas développer tes calculs, garde-les au maximum factorisés et tu verras des termes se simplifier !

Pour la deuxième question, tu dois montrer que f(x) = (X^3-4x²+8x-4)/(x-1)² = (ax+b)+(cx+d)/(x-1)². Dans ce cas, accepte-le a priori et pose ton égalité. Tu dois mettre le terme de droite au même dénominateur pour qu'il ressemble au terme de gauche. Ensuite, tu obtiendras des relations entre les coefficients numériques du numérateur du terme de gauche et les coefficients formels du numérateur du terme de droite. Tu as un système de 4 équations à 4 inconnues que tu dois savoir résoudre.

Bonne chance.

[invitefffafb2f]

Bonjour et merci de votre réponse

Pour la première question, c'est normale que en développant le numérateur apres avoir tout mis au dénominateur (x-1)^3 j'ai beaucoup de termes ?

Pour la deuxième, je bloque toujours, j'ai tout mis au même dénominateur. Voilà ce que j'obtiens :

((ax+b)(x-1)²+(x+d))/(x-1)²

Si je simplifie je retourne à la caisse départ... je me suis trompé quelque part ? Et sinon par où continuer ?

Merci

[cedbont]

Peux-tu écrire la dérivée que tu obtiens ?

Pour la deuxième question c'est juste d'écrire ((ax+b)(x-1)²+(x+d))/(x-1)² (sauf qu'il manque un c mais ça doit être une erreur de frappe) et il faut maintenant que tu développes le numérateur. Le coefficient formel devant le x^3 sera égal au coefficient numérique (1 ici), celui devant x² sera égal à -4, etc.

[A voir en vidéo sur Futura]