Exercice difficile

[invite323995a2]

Bonjour, voilà je suis en Terminale S et ma prof m'a donné 11 exercices à faire pour Lundi. J'en ai fait 6 mais je cale sur celui-la.

Voici le sujet: Dans un repère (O;i,j), on considère les points A(1;-1) ;
B(5;3) ; Gn (Xn ; Yn). La suite de points (Gn) est ainsi définie : G0 = O et pour tout naturel, Gn+1 est le barycentre du système pondéré (Gn;2) ; (A;1) ; (B;1) .

1°) Démontrer que f: Gn---> G(n+1) est une homothétie que l'on caractérisera (centre-rapport).
Je sais ce qu'est une homothétie mais je sais pas comment démontrer!!

2°) Justifier que quelque soit n de N, X(n+1)= 1/2 Xn + 3/2

3°) Démontrer que quelque soit n de N, Xn= 3/2+ 3/2² + ... + 3/ 2^n

4°) En déduire, pour tout n naturel non nul, une expression fonctionnelle simple de Xn, puis trouver lim Xn.

Pour ces 3 dernières questions: rien compris. Si quelqu'un pourrait au moins me donner les points de départ ce serait sympa.

Merci d'avance.
-----

[invite323995a2]

Personne ne sait la réponse. Ba pa grave je ferai pas cette exo

[shokin]

Montrer que c'est une homothétie :

As-tu trouvé par exemple les coordonnées de G₁ et G₂ ? Puis les dessiner pour éventuellement voir quelque chose.

Dans une homothétie, les distances des points "mobiles" à un point (le centre d'homothétie) sont, à chaque fois, multipliées par le même facteur, ce qui est commun aux suites géométriques !

Comme le barycentre est défini dans ton problème, tu prends chaque fois :

2 fois le point de départ G_n
1 fois le point A
1 fois le point B

Tu additionnes le tout et divise par 4.

(1G_n + A + B)/4

= (2G_n + (1;-1) + (5;3))/4

= (2G_n + (6;2))/4

= (G_n + (3;1))/2

Donc pour passer de la première coordonnée de G_n à la première coordonnée de G_n+1, tu fais toujours +3 puis /2.

Et pour passer de la deuxième coordonnée de G_n à la deuxième coordonnée de G_n+1, tu fais toujours +1 puis /2.

Tu trouves alors les coordonnées de G_n pour tout n naturel.

Si tu observes la suite de ces coordonnées (exprimées en fractions irréductibles), tu remarques :

- Pour y, le dénominateur double chaque fois et le numérateur est une unité en dessous du dénominateur.
- Pour x, le dénominateur double également chaque fois et le numérateur est le triple du numérateur de x.

Si c'est pas beau, ça !

La suite de y tend vers un nombre, vers 1 ! (pas long à démontrer, avec les limites)

La suite de x tend vers un nombre, vers 3 ! Puisque le numérateur était chaque fois le triple.

En fait, le point (3;1) est le milieu du segment AB !

Et en passant de G_n à G_n+1, on se rapproche toujours de (3;1). Qui plus est, la différence entre X_n et 3 est toujours multipliée par un même facteur. Idem pour la différence entre Y_n et 1. On a donc bel et bien une homothétie !



Là ! je t'ai donné des pistes pour aussi répondre aux questions suivantes.



Shokin

[invite323995a2]

J'ai eu la correction de cet exercice mais je ne comprends toujours pas comment on passe des données du problème à ces 2 justifications. Si quelqu'un pourrait m'expliquait clairement ce serait sympa, en plus vendredi j'ai devoir surveillé, si j'ai un exercice de ce type la j'aimerais savoir au moins en faire 1.

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite323995a2]

Personne pour me répondre. J'ai contrôle Vendredi et la prof a dit qu'il y aura un exercice de ce genre. SVP