inequation trigoniometrique

[invite86d2a51a]

salut,

g un DM de maths et dedans il faut résoudre dans [0;2pi] l'inequation :

cos(x+pi/4)>0

je ne vois pas comment faire faut il faire un changement de variable ?
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[shokin]

Salut,

g un DM

Essaie de ne plus utiliser ce g ainsi.



Un changement de variable est un chemin possible. Genre y = x + pi/4.



Shokin

[invite86d2a51a]

j'ai posé Y= X+pi/4 mais jobtient Y€[0;pi/2]u[3pi/2;2pi] comment faut il faire pour trouver les intervalles auxquels x appartient

[shokin]

j'obtient Y€[0;pi/2]u[3pi/2;2pi]

Tu as résolu l'équation :

cos(y) > 0.

Le référentiel de y n'est pas important. C'est celui de x qui t'es donné qui est important.

y = x + pi/4 [La demi-droite de l'angle y se situera donc dans un des deux quadrants à droite.]

Donc :

x = y - pi/4

Donc, tu fais un quart de cercle dans le sens des aiguilles d'une montre.

Donc seuls les angles x "en bas" vérifient l'équation.



NB : tes intervalles doivent être ouverts car tu as le signe "strictement plus grand".



Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite86d2a51a]

jy arrive toujours pas

[shokin]

Pour commencer, fais abstraction de l'intervalle de 0 à 2pi.

Où doit se situer l'angle y pour vérifier l'équation cos(y)>0 ?



SHokin

[invite86d2a51a]

y doit se situer dans [0;pi/2]u[3pi/2;2pi]

[invite86d2a51a]

faut il résoudre dabord dans R et après dans [0;2pi]

[shokin]

y doit se situer dans [0;pi/2]u[3pi/2;2pi]

Si tu laisses tomber le référentiel pour y (tu dois tenir compte du référentiel pour x, et seulement quand tu as résolu l'équation, sinon tu risques d'omettre des solutions), il doit être dans l'intervalle ouvert :

]-pi/2 + 2k*pi ; pi/2 + 2k*pi[ avec k entier.

Comme x = y - pi/4.

x doit être dans l'intervalle :

]-3pi/4 + 2k*pi ; pi/4 + 2k*pi[ avec k entier.

Maintenant, on veut que x soit dans l'intervalle fermé [0;2pi].

Tu fais l'intersection entre :

]-3pi/4 + 2k*pi ; pi/4 + 2k*pi[ avec k entier.

et

[0;2pi]



Shokin

[invite86d2a51a]

j'ai posé Y= x+pi/4

donc cos(Y)>0 <=> Y €[0;pi/2[U]3pi/2;2pi]<=> x+pi/4 €[0;pi/2[U]3pi/2;2pi]

donc 0<= x+pi/4<pi/2 et 3pi/2<x+pi/4<=2pi

[shokin]

j'ai posé Y= x+pi/4

donc cos(Y)>0 <=> Y €[0;pi/2[U]3pi/2;2pi]<=> x+pi/4 €[0;pi/2[U]3pi/2;2pi]

donc 0<= x+pi/4<pi/2 OU 3pi/2<x+pi/4<=2pi

J'ai remplacé le ET par OU. Il ne peut pas être dans les deux à la fois, mais peut aller dans n'importe quel des deux.

Il te reste à isoler le x.

Genre : passer de 3<x+2<9 à 1<x<7 puis x€]1;7[.



Et voilà ! tu arrives au bout !



Shokin

[invite86d2a51a]

mais le problème c que si on résoud 3pi/2<x+pi/4<=2pi , on trouve 5pi/4<x<=7pi/4 or cos (2pi+pi/4)=racine2/2>0 donc x n'est pas necessairement compris entre 5pi/4 et 7pi/4 mais est compris entre 5pi/4 et 2pi mais comment expliquer ca?