Variations (1ère S)

[Micki2a]

Bonjour tout le monde...

Alors j'ai oublié comment étudier les variations d'une fonction (dans mon cours de 1ère on ne l'a pas revu -_-) et je n'ai pas encore les bouquins de cours. Donc je suis pomé. Je crois me souvenir d'un truc du genre:

0<x₁<x₂ alors 0<f(x₁)<f(x₂)

Et je me rapelle des Tableaux de variations emboités c'est tout...

La fonction a étudier est la suivante:



Bon j'ai trouvé l'ensemble de définition:

Df= R


J'aimerai juste qu'on m'indique la méthode à suivre, car je veux le faire tout seul.
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[Chimerade]

Bonjour tout le monde...

Alors j'ai oublié comment étudier les variations d'une fonction (dans mon cours de 1ère on ne l'a pas revu -_-) et je n'ai pas encore les bouquins de cours. Donc je suis pomé. Je crois me souvenir d'un truc du genre:

0<x₁<x₂ alors 0<f(x₁)<f(x₂)

Et je me rapelle des Tableaux de variations emboités c'est tout...

La fonction a étudier est la suivante:



Bon j'ai trouvé l'ensemble de définition:

Df= R


J'aimerai juste qu'on m'indique la méthode à suivre, car je veux le faire tout seul.

Il existe certaines astuces pour les élèves de seconde, du genre "la somme de deux fonctions croissantes est croissante", mais en général, cela ne suffit pas. Une méthode apprise en première est de déterminer, lorsque la fonction est dérivable, la dérivée, et de déduire la croissance ou la décroissance du signe de la dérivée.

C'est une possibilité ici. Calcule la dérivée et étudie son signe !

[Micki2a]

Je n'ai pas le niveau pour étudier les variations grâce aux dérivées. La prof donne une méthode avec:

f(x₂)-f(x₁)

Mais le problème c'est que j'ai tenté ça mais en étudiant le graphique sur géogébra on voit un changement de variations à 1 donc en gros la fonction est croissante sur [0;1[ et est décroissante sur [1;+infini[
Mais dans mes calculs je n'arrive pas à trouver ce 1 qui fait changer les variations..

Si vous pourriez m'aider s'il vous plait, ce serait cool xD.
Merci d'avance

[invite6ed3677d]

Bonjour,

alors avec cette méthode, on va poser 2 réels x1 et x2 tels que x1 < x2.

Et puis on va calculer f(x2) - f(x1). Si c'est positif alors ca veut dire que f(x2) > f(x1) et donc, la fonction croit. Sinon, elle décroit.

Il faut donc trouver une expression simple de f(x2) - f(x1) et regarder où cette expression est positive, nulle ou négative.

Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[Micki2a]

J'ai fais cette manière mais je suis coincé dans l'expression. Il faut surement factoriser mais je ne trouve pas la méthode.

0<a<b

f(b)-f(a)

Donc cela donne:



Donc à partir de là, je bloque.
Mais je ne vois pas comment trouver le fameux 1 qui fait changer les variations.

Merci d'avance...

[Chimerade]

0<a<b

f(b)-f(a)

Donc cela donne:



Donc à partir de là, je bloque.

Simplifie ! Donc, réduis au même dénominateur, et factorise...

[Micki2a]

J'ai déja fais, mais je n'arrive pas à trouver...
Puis ensuite je devellope et je trouve


Mais comment je trouve le 1 ?

[Seirios]

Bonjour,

Tu as fait une erreur dans ta simplification :

, mais ne peut pas se simplifier.

[Micki2a]

Ah oui.... Désolé...

Bon mais à partir de la je ne sais pas quoi faire...

Peut être factoriser par b-a

[Micki2a]

J'ai du nouveau (enfin je pense)

J'ai essayé de factoriser l'expression:

3ba²+3b-3ab²-3a
3(ba²+b-ab²-a)
3(ba²-ab²+b-a)
3(b-a)(a²-b²+1) Et là je me rejouis car je vois un 1 !!! Mais maintenant xD.
Faut-il factoriser a²-b² ?
3(b-a)[(a+b)(a-b)+1]

Je sais pas si on peut allé plus loins mais je propose de faire une déduction (je ne sais pas si c'est juste):

3 est positif
b-a est positif car 0<a<b
a+b est positif car 0<a<b
a-b est négatif car 0<a<b
Le dénominateur est positif (a²+1)(b²+1)

Et on peut dire que c'est 1<a<b mais comment justifier (en tout cas ça m'arrangerai).
Donc l'expression est négatif et f(a)>f(b) donc elle est croissante sur [1;+infini[

Le 1 m'arrangerai mais comment montrer
Donc l'expression est négatif

[Chimerade]

J'ai du nouveau (enfin je pense)

J'ai essayé de factoriser l'expression:

3ba²+3b-3ab²-3a
3(ba²+b-ab²-a)
3(ba²-ab²+b-a)
3(b-a)(a²-b²+1) Et là je me rejouis car je vois un 1 !!!

Encore une erreur ...

(b-a)(a²-b²) n'est pas égal à ba²-ab² !!!

Je reprends :

3(ba²-ab²+b-a) = 3[ab(a)-ab(b)+b-a]
= 3[ab(a-b)+b-a)]
= 3(b-a)[1-ab]

Que peux-tu dire si a>1 et b>1 ?
Que peux-tu dire si 0<a<1 et 0<b<1 ?

Que penses-tu de la parité de la fonction ?

[Micki2a]

Si a>1 alors l'expression est négatif donc la fonction est décroissante...
Et si 0<a<1 alors l'expression est positif donc la fonction est croissante.

Et la fonction est impaire c'est pour cela que j'ai étudié les variations sur R+
donc on peut dire que c'est pareil sur R-.

Merci beaucoup pour votre aide.