Etudier la variation d'une fonction

[thomas5701]

Bonjour, j'ai un petit exercice sur lequel je bloque:

Je dois étudier le sens de variation de la fonctions suivantes sur IR et en déduire le signe:

f(x)=x-sin(x)

Pour étudier le sens de variation on applique la dérivé, se qui nous donne:
f'(x)=1-cos(x)

Est-il correct de dire: Cos(x) à pour extremum -1 et 1, de plus f'(x) est de la forme ax+b, alors b est l'ordonnée à l'origine, donc la fonction 1-cos(x) aura pour extremum 0 et 1. Donc f'(x) est strictement positive sur IR.

Puis 1-cos(x)=0 donen x=0.

Bien sûr le raisonnement est fait quand on prend des radians. Ils ne disent pas de raisonner en radian dans la consigne, alors ai-je raison? Ou faut-il que je raisonne en degrés?

Cordialement, Thomas
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[thomas5701]

Je pense que l'étude se fait en radian, et je trouve un bon résultat donc je vais faire comme j'ai fait:

f'(x) toujours positif ou nul, f(x) est donc positive et s'annule pour f(0) donc le signe est - 0 + sur IR.

Donnez moi quand même vos avis ! Surtout sur le moyen pour prouver que la dérivé est positive.

[Bruno0693]

Salut,

Tu as : . Remarque que cette dérivée est périodique, de période . Tu peux donc restreindre son étude sur l'intervalle .

Pour tout , on a :

où .

D'autre part, sur , on a : , donc, pour tout , : ainsi, ta dérivée ne change JAMAIS de signe, elle est toujours positive sur et, donc, sur par périodicité.

Ta fonction est ainsi croissante sur tout .

Par ailleurs, tu remarques sans problème que f(0) = 0, donc, en utilisant le fait que f est croissante, tu en déduis que : pour , et pour , .

voilà.

[thomas5701]

Si on raisonne au niveau des extremum:

-cos(x) a pour maximum 1 et pour minimum -1
-cos(x)+1 est décalé de +1 sur l'axes des origines, donc -cos(x)+1 a pour maximum 2 et minimum 0 donc -cos(x)+1 >= 0

Est-ce aussi juste?

Mais merci pour ta réponse!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno0693]

Si on raisonne au niveau des extremum:

-cos(x) a pour maximum 1 et pour minimum -1
-cos(x)+1 est décalé de +1 sur l'axes des origines, donc -cos(x)+1 a pour maximum 2 et minimum 0 donc -cos(x)+1 >= 0

Est-ce aussi juste?

Mais merci pour ta réponse!

Oui, c'est tout à fait juste, c'est le raisonnement que j'ai implicitement utilisé dans mon dernier post (en passant, je me rends compte qu'on peut conclure directement, sans passer par la périodicité de f ').

Mais (avis perso), il vaut mieux l'écrire de la façon suivante, plus rigoureuse :

, d'où : , pour tout x de R.

[thomas5701]

Ok, merci pour tous. Bonne soirée