Calcul de limites TS

[invited0befd3a]

BOnjour. j'ai la derniere question de mon DM (qui est indépendante des autres) qui me pose probleme pour démarrer en fait.

il disent: f(x) = 1/racine(x) - 5 + cos(1/x) , définis sur ]0 ; +oo [ . Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble.

alors, je ne voit pas comment démarrer en fait, je suis embeté, 1/racine(x) - 5 tends vers +00 en 0 , mais la fonction cosinus n'a pas de limite il me semble.

est ce que quelqu'un peut m'aiguiller simplement sur la marche à suivre ?
Merci d'avance !
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[invitecb6f7658]

Sauf erreur de ma part, tend vers lorsque

[Arkangelsk]

Bonsoir,

la fonction cosinus n'a pas de limite il me semble

Plus précisément, dans ton exemple, on ne peut pas déterminer la limite de g : x --> cos(x) en + infini. Cependant, on sait que la fonction cosinus est bornée entre -1 et 1, soit pour tout x réel, |cos(x)| ≤ 1. Si un terme de la limite tend vers + infini, alors ce terme "l'emporte" (le terme en cos est négligeable).

[invitecb6f7658]

Ouille pardon pardon j'ai pas du tout répondu à la question...
En effet comme l'a fait remarquer Arkangelsk un encadrement s'impose...

edit: heu en fait ce que dit Arkangelsk n'est pas très réglo dans une copie (dixit ma prof) les "l'emporte sur..." sont je crois assez mal vus, faut encadrer puis retrouver ta fonctiond de départ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

edit: heu en fait ce que dit Arkangelsk n'est pas très réglo dans une copie (dixit ma prof) les "l'emporte sur..." sont je crois assez mal vus, faut encadrer puis retrouver ta fonctiond de départ...

On est d'accord, d'où l'usage des guillemets ! (je sais, j'en abuse). Pour la rédaction, on peut encadrer ou écrire un équivalent en 0, ce qui est "plus joli" .

[invited0befd3a]

d'accords, merci bcp, des que je l'ai fait je vous dirais ce que j'ai trouvé !

au revoir !

[invited0befd3a]

voila, alors j'ai fait :

posons alors, pour tout x>0 (strictement car nous sommes sur un intervalle ouvert) :

-1 <(ou=) cos(x) <(=) 1 (on multiplie par 1/x², avec x>0)
-1/x² >(=) cos x/x² >(=) 1/x²

-1/x² >(=) cos 1/x >(=) 1/x²

Or, lim -1/x² quand x tends vers 0(+) équivaut à -oo. Et lim 1/x² en 0(+) = +oo.

Donc je pense que j'ai du faire une erreur quelque part, ou alor je n'ai aps bien compris parce que mon encadrements ne me donne pas la limite de cos 1/x ici non? pouvez vous m'aider?
Merci

[Arkangelsk]

Salut,

-1 <(ou=) cos(x) <(=) 1 (on multiplie par 1/x², avec x>0)
-1/x² >(=) cos x/x² >(=) 1/x²

Attention !! (cos(x))/x² ≠ cos(1/x)

mon encadrements ne me donne pas la limite de cos 1/x ici non?

Effectivement, non.

BOnjour. j'ai la derniere question de mon DM (qui est indépendante des autres) qui me pose probleme pour démarrer en fait.

il disent: f(x) = 1/racine(x) - 5 + cos(1/x) , définis sur ]0 ; +oo [ . Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble.

Ton expression initiale est-elle bien ?

Si tel est le cas, tu peux l'encadrer en partant de - 1 ≤ cos(1/x) ≤ 1 et faire tendre x vers 0, x>0.

[invited0befd3a]

oui, l'expression initiale de f(x) est bien celle là , mais alors je fait cet encadrement en partant de cos(1/x) et il faut que j'arrive à la forme complete de f(x) c'est ça? ensuite avec les deux limites qui encadrent f(x) , je pourrai déduire sa limite c'est ça?

[Arkangelsk]

Oui, c'est bien ça.

Le but est d'encadrer la fonction f par deux fonctions ayant la même limite quand x tend vers 0.

[invited0befd3a]

bon en tout cas je l'ai fait comme ça, et je trouve :

1/racine(x) - 6 <(=) f(x) <(=) 1/racine(x) - 4

or, lim 1/racine(x) - 6 = +oo (car x>0) , et il en est de même pour la lim de 1/racine-4. Donc j'en conclu que f(x) tends vers +oo car x tends vers 0, x>0
ai-je bon?

Ps: j'ai remarqué, même si je pense que sa n'a pas d'importance, que dans l'encadrement, d'un coté on a 1/racine(x) - 6, de l'autre 1/racine(x) - 4
et que dans f(x) on trouve 1/racine(x) - 5. (est ce que ça joue un role ou as une influence quelquonque?)

Merci, au revoir !

[invite743e02e9]

Euh là c'est pas vraiment le théorème des gendarmes que tu dois utiliser mais le théorème de comparaison.
Puisque f(x) > à une fonction qui tend vers + l'infini, (qui est -6 + 1/ racine de x), f(x) tend vers + l'infini aussi quand x tend vers 0.
Je crois que c'est ça ...

[Arkangelsk]

Ca a l'air correct.

Ps: j'ai remarqué, même si je pense que sa n'a pas d'importance, que dans l'encadrement, d'un coté on a 1/racine(x) - 6, de l'autre 1/racine(x) - 4
et que dans f(x) on trouve 1/racine(x) - 5. (est ce que ça joue un role ou as une influence quelquonque?)

Bonne remarque... En fait, tu aurais également pu encadrer f(x) par et . Les limites de ces deux fonctions sont quand x tend vers 0, x>0.

[invited0befd3a]

parce que les réels n'ont pas d'influences sur les infinis en fait

[Arkangelsk]

Puisque f(x) > à une fonction qui tend vers + l'infini, (qui est -6 + 1/ racine de x), f(x) tend vers + l'infini aussi quand x tend vers 0.

Exact : il est inutile de majorer la fonction ; il suffit de montrer que f(x) est supérieur à une fonction qui tend vers .

c'est pas vraiment le théorème des gendarmes que tu dois utiliser mais le théorème de comparaison.

Ce n'est pas le théorème des gendarmes qui est utilsé ici. Je crois qu'il est réservé aux limites de suites réelles.

[invited0befd3a]

J'aurai une autre question si sa vous dérange pas, j'ai fait un autre exos pour m'entrainer qui dit : soit f la fonction définis sur R par f(x) = racine(x²+x+1) - x .
Alors j'ai trouvé les limites en + et - l'infinis (grace à la formes conjugué), puis j'ai montré qu'elle admettait des asymptotes horizontales en + et - l'infnis.

Mais apres ils disent : Mq D:y=-2x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en - l'infinis.
Que dois-je faire là ?

[Arkangelsk]

parce que les réels n'ont pas d'influences sur les infinis en fait

OK. Ils sont négligeables.

Mais apres ils disent : Mq D:y=-2x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en - l'infinis.

Pour montrer que la droite D : y = - 2x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en , le plus simple est de calculer le limite de ( f(x) -y(x) ) quand x tend vers . Si cette limite est nulle, alors la droite D est asymptote.

[invited0befd3a]

re bonjour, je vous montre les calculs que j'ai fait, je trouve bien que la limite en -oo de f(x) - y(x) = 0 , mais j'ai un doute sur mon dévellopement au moment uo je factorise la racine caré :

f(x) - y(x) =
(racine(x²+x+1)-x) - (-2x - 1/2 ) puis avec la forme conjuguée, (a-b)(a+b) = a²-b², je passe l'étape de ce calcul et je met l'étape qui suit :
= ((x+1)/(racine(x²+x+1)+x)) - ((-2x²-1/4)/(-2x+1/2))
= ((x(1+1/x)/(racine(x²)(racine(1+1/x+1/x²)+1/x)) - (x²(-2-1/4/x²)/(x(-2+1/2/x))
= (1+1/x)/((racine(1+1/x+1/x²)+1/x) - ((-2+1/4/x²)/(-2+1/2/x))

or, lim (1+1/x)/((racine(1+1/x+1/x²)+1/x) en -oo = 1
et, lim ((-2+1/4/x²)/(-2+1/2/x)) en -oo = 1

donc lim (1+1/x)/((racine(1+1/x+1/x²)+1/x) - ((-2+1/4/x²)/(-2+1/2/x)) = 1-1 = 0 !

j'ai bon ou pas ? merci d'avance !

[Arkangelsk]

Bonjour,

f(x) - y(x) =
(racine(x²+x+1)-x) - (-2x - 1/2 ) puis avec la forme conjuguée, (a-b)(a+b) = a²-b², je passe l'étape de ce calcul et je met l'étape qui suit :
= ((x+1)/(racine(x²+x+1)+x)) - ((-2x²-1/4)/(-2x+1/2))

Est-ce que tu pourrais détailler ton calcul ? J'ai calculé f(1) - y(1) avec l'expression de départ, puis avec ton expression, et je n'ai pas trouvé la même valeur.

[invited0befd3a]

ouais sans problemes, le seul truck c'est que c'est pas très compréhensible
de la façon dont je l'écris mais je vais le faire quand même si t'arrive à lire
facilement :

f(x) - y(x)
= (racine(x²+x+1)-x) - (-2x - 1/2 ) puis avec la forme conjuguée, (a-b)(a+b) = a²-b²
= ((((racine(x²+x+1)-x)(racine
(x²+x+1)+x))/(racine(x²+x+1)+x)) - ((-2x-1/2)(-2x+1/2)/(-2x+1/2))
= (((x²+x+1)-x²)/(racine(x²+x+1)+x)) - ((-2x²-(1/4)²)/(-2x+1/2))
= ((x+1)/(racine(x²+x+1)+x)) - ((-2x²-1/4)/(-2x+1/2))
= ((x(1+1/x)/(racine(x²)(racine(1+1/x+1/x²)+1/x)) - (x²(-2-1/4/x²)/(x(-2+1/2/x))
= (1+1/x)/((racine(1+1/x+1/x²)+1/x) - ((-2+1/4/x²)/(-2+1/2/x))


voila ^^

[invite57a1e779]

Bonjour Percevalgui,

J'essaie de rendre ton calcul lisible :



Sauf erreur de ma part...

Il me semble qu'à la troisième ligne son devrait trouver au lieu de , ce qui influe sur toute la suite...
D'autre part, il reste un facteur au numérateur dans la dernière fraction...
Enfin, tu cherches à calculer la limite de en : tu travailles donc avec , et par conséquent ...

C'est bien le genre de calculs qu'il faut faire, mais tu dois d'abord simplifier au mieux la différence avant d'user de la quantité conjuguée :


et tu ne devrais être confronté à aucune forme indéterminée.

[Arkangelsk]

Je réitère ma remarque : pour vérifier rapidement si tu as fait des erreurs de calcul, choisis un ou deux x (ex : 0, 1, 2, ...) , remplace x par sa valeur (0, 1, 2, ...) dans l'expression de départ, puis dans l'expression finale, et regarde si tu obtiens bien la même chose. J'ai refait rapidement le calcul et j'arrive à deux résultats différents. Attention, cela t'indique seulement si tu as fait des erreurs, mais ne t'assure pas que ton expression finale est correcte.

Pour ton calcul, je vois au moins 3 erreurs...

PS :

((-2+1/4/x²)

Faut-il comprendre - 2 + 1/(4x²) ?

[invited0befd3a]

oui je l'ai fait de remplacer x et j'ai en effet remarqué que les résultats n'étaient pas les mêmes.

Par contre en effet j'ai compris l'erreur... sur la forme conjugué, je n'avais pas mis le -2x au carré. Merci ! je refait les calculs dessuite et je vous dit si j'ai trouvé ^^

Merci encore pour tous les conseils !

[invited0befd3a]

est ce que :

(x + 3/4) / racine(x²+x+1) - x - 1/2
= x(1 + 3/4x ) / (racine(x²(1 + 1/x + 1/x²)) - x -1/2
= x(1 + 3/4x ) / x racine(1 + 1/x + 1/x²) - x - 1/2
= ( 1 + 3/4x ) / racine(1 + 1/x + 1/x² ) - x - 1/2 ?

Car, si oui, j'obtient bien une limites égale à 0, donc on a bien une asymptote oblique. Mais c'est la factorisation du dénominateur qui m'inquiete, car apres, est ce que je peux simplifier en haut et en bas par x, sans toucher à -x - 1/2 ?

Merci

[invite57a1e779]

D'où vient ton x+3/4 ?

[invited0befd3a]

du développement à partir de la quantité conjuguée, on obtient au numérateur x² + x + 1 - x² - 1/4 , ce qui donne x + 1 - 1/4 = x + 4/4 - 1-4
= x + 3/4

[Arkangelsk]

est ce que :

(x + 3/4) / racine(x²+x+1) - x - 1/2
= x(1 + 3/4x ) / (racine(x²(1 + 1/x + 1/x²)) - x -1/2
= x(1 + 3/4x ) / x racine(1 + 1/x + 1/x²) - x - 1/2
= ( 1 + 3/4x ) / racine(1 + 1/x + 1/x² ) - x - 1/2 ?

Non, pas toujours. Fais très attention quand tu sors le x de ta racine.

Je te réécris la remarque importante de God's Breath : quand x < 0, alors :

√(x²) = - x


Après, je n'ai pas très bien compris le lien entre :

est ce que je peux simplifier en haut et en bas par x

et

sans toucher à -x - 1/2 ?

[Arkangelsk]

du développement à partir de la quantité conjuguée, on obtient au numérateur x² + x + 1 - x² - 1/4 , ce qui donne x + 1 - 1/4 = x + 4/4 - 1-4
= x + 3/4

N'y aurait-il pas un x en trop ?

[invited0befd3a]

et bien est ce que le calcul que j'ai écrit est juste (à part que je doit metre -racine.....) ? parce que comme je factorise dans la racine, apres je sort x de la racine et je le supprime parce qu'en haut j'ai aussi x en facteur.
Mais en bas, il reste -x - 1/2 (je ne l'ai pas factorisé mais c'est juste quand même ?)

[invite57a1e779]

Chez moi :