Bonjour,
L'exercice suivant me pause problème, si vous pouviez m'aider à le résoudre ce serait chouette :
Soit fm la fonction définie sur R-{-1;1} par fm(x)=(x²+mx)/(x²-1) où m est un réel.
a) Pour quelles valeurs de m, fm n'admet-elle ni minimum, ni maximum ?
b) Pour quelles valeurs de m, fm a-t-elle un maximum et un minimum ?
J'ai calculé la dérivée, mais je ne sais pas si cela sert à quelque chose : fm'(x)=(-mx²-2x-m)/(x²-1)²
Par avance, merci.
Bonjour,
Oui, il faut bien partir de la dérivée. Tu sais que la fonction admet des extrema aux points où la dérivée s'annule. Il te faut donc étudier l'existence des racines de ton numérateur. Tu peux tout d'abord étudier le signe du discriminant en selon les valeurs du paramètre m.
Bonjour.OK pour la dérivée.Envoyé par DickG
Que peux-tu dire de la dérivée si la fonction n'admet ni maximum ni minimum ?
(Tu peux faire le lien avec la monotonie de la fonction aussi)
De même, si la fonction admet un minimum ou un minimum alors sa dérivée ...
Dans ton cas, elle doit le faire deux fois (pour un même valeur de m)
Duke.
EDIT : Grillé...
Bonjour Arkangelsk, bonjour Duke Alchemist
Alors je trouve ceci au numérateur : -mx²-2x-m
Donc si j'ai bien compris fm admet un maximum et un minimum quand -mx²-2x-m=0, delta=4(1-m²) donc il y a deux solutions : -1 et 1.
Donc fm n'admet ni maximum, ni minimum pour m élément de R-{-1;1} et fm admet un maximum et un minimum quand m=-1 ou m=1.
Est-ce bien ça ?
Il faut tout d'abord chercher les antécédents de 0 par fm'(x)
Je trouve -1/m+√[(1-m²)/m²] et -1/m-√[(1-m²)/m²]
Par conséquant pour que f n'admette ni minimum ni maximum, il faut que m=0 et (1-m²)/m²<0
m doit appartenir à ]-inf;-1[U{0}U]1;+inf[
Pour que f admette un minimum et un maximum, il faut que
-1/m+√[(1-m²)/m²]≠-1/m-√[(1-m²)/m²]
√[(1-m²)/m²]≠-√[(1-m²)/m²]
(1-m²)/m²≠0
m appartient à R\{-1;1}
Si vous voulez plus de détails n'hésitez pas
Je me suis servi de la dérivée déjà calculée
Mince pour b il faut aussi que m n'appartienne pas à ]-inf;-1[U{0}U]1;+inf[ donc la réponse du b est m appartient à ]-1;0[U]0;1[
Je ne comprends pas, qu'est ce qu'un antécédent ?
Je m'étais trompé ce n'était pas les antécédents par fm'(x) mais par fm'
Ce sont les solutions de l'équation fm'(x)=0 en fonction de m
si tu préfères j'aurais pu marquer pour fm'(x)=0
x=(-1+√(1-m²))/m ou x=(-1-√(1-m²))/m
si ça peut t'aider
Je ne comprends pas, moi je trouve :
x1 = (1-√(1-m²))/-m
et x2 = (1+√(1-m²))/-m
Donc pour moi la fonction admet un minimum et un maximum pour x1 et x2, mais à quel moment la fonction n'atteint pas de minimum ?
Merci de me répondre, c'est un DM que j'ai à faire :S
EDIT : non en fait j'ai compris cela revient au même nos deux écritures, mais est ce que quelqu'un peut expliquer ce que l'on peut en conclure ? :S
Je mets un nouveau post, car je n'ai toujours pas compris, Svp si quelqu'un pouvait m'expliquer ce serait bien sympatique !!
Merci d'avance !
fm(x) = 1 + (mx+1)/(x²-1)
Donc si m= 1 ou -1 elle est strictement monotone donc pas de minimum/maximum
Et si m n'est ni 1 ni -1 tu fais un tableau de variations usuel pour chaque positions relatives des zéros de (fm)' par rapport à -1 et 1
(remarque: les zéros de (fm)' sont dans {-1;1} ssi m=-1 ou 1 qui est ici exclus)
tu répond donc aux deux questions car dans le deuxième cas elle aura toujours un max ou un min il me semble.
tu parle de minimums et de maximums locaux ou globaux
(en général quand on ne précise pas c'est global)
quand tu divise par m dans x1 et x2 il faut avoir exclus m=0
avant ce qui ne pose pas de problème à étudier
(fm)'=0 ne suffit pas pour avoir un minimum ou un maximum (ni global ni local) d'où le tableau de variations.
exemple classique: x^3 en 0
