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Exercice : dérivée et étude d'une fonction



  1. #1
    invite75213404

    Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Bonjour,

    L'exercice suivant me pause problème, si vous pouviez m'aider à le résoudre ce serait chouette :

    Soit fm la fonction définie sur R-{-1;1} par fm(x)=(x²+mx)/(x²-1) où m est un réel.

    a) Pour quelles valeurs de m, fm n'admet-elle ni minimum, ni maximum ?
    b) Pour quelles valeurs de m, fm a-t-elle un maximum et un minimum ?

    J'ai calculé la dérivée, mais je ne sais pas si cela sert à quelque chose : fm'(x)=(-mx²-2x-m)/(x²-1)²

    Par avance, merci.

    -----


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  3. #2
    Arkangelsk

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Bonjour,

    Oui, il faut bien partir de la dérivée. Tu sais que la fonction admet des extrema aux points où la dérivée s'annule. Il te faut donc étudier l'existence des racines de ton numérateur. Tu peux tout d'abord étudier le signe du discriminant en selon les valeurs du paramètre m.

  4. #3
    Duke Alchemist

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Bonjour.
    Citation Envoyé par DickG Voir le message
    Soit fm la fonction définie sur R-{-1;1} par fm(x)=(x²+mx)/(x²-1) où m est un réel.

    a) Pour quelles valeurs de m, fm n'admet-elle ni minimum, ni maximum ?
    b) Pour quelles valeurs de m, fm a-t-elle un maximum et un minimum ?

    J'ai calculé la dérivée, mais je ne sais pas si cela sert à quelque chose : fm'(x)=(-mx²-2x-m)/(x²-1)²
    OK pour la dérivée.

    Que peux-tu dire de la dérivée si la fonction n'admet ni maximum ni minimum ?
    (Tu peux faire le lien avec la monotonie de la fonction aussi)

    De même, si la fonction admet un minimum ou un minimum alors sa dérivée ...
    Dans ton cas, elle doit le faire deux fois (pour un même valeur de m)

    Duke.

    EDIT : Grillé...

  5. #4
    invite75213404

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Bonjour Arkangelsk, bonjour Duke Alchemist

    Alors je trouve ceci au numérateur : -mx²-2x-m

    Donc si j'ai bien compris fm admet un maximum et un minimum quand -mx²-2x-m=0, delta=4(1-m²) donc il y a deux solutions : -1 et 1.

    Donc fm n'admet ni maximum, ni minimum pour m élément de R-{-1;1} et fm admet un maximum et un minimum quand m=-1 ou m=1.

    Est-ce bien ça ?

  6. #5
    hhh86

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Il faut tout d'abord chercher les antécédents de 0 par fm'(x)
    Je trouve -1/m+√[(1-m²)/m²] et -1/m-√[(1-m²)/m²]
    Par conséquant pour que f n'admette ni minimum ni maximum, il faut que m=0 et (1-m²)/m²<0
    m doit appartenir à ]-inf;-1[U{0}U]1;+inf[

    Pour que f admette un minimum et un maximum, il faut que
    -1/m+√[(1-m²)/m²]≠-1/m-√[(1-m²)/m²]
    √[(1-m²)/m²]≠-√[(1-m²)/m²]
    (1-m²)/m²≠0
    m appartient à R\{-1;1}

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    hhh86

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Si vous voulez plus de détails n'hésitez pas
    Je me suis servi de la dérivée déjà calculée

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  10. #7
    hhh86

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Mince pour b il faut aussi que m n'appartienne pas à ]-inf;-1[U{0}U]1;+inf[ donc la réponse du b est m appartient à ]-1;0[U]0;1[

  11. #8
    invite75213404

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    Il faut tout d'abord chercher les antécédents de 0 par fm'(x)
    Je ne comprends pas, qu'est ce qu'un antécédent ?

  12. #9
    hhh86

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Citation Envoyé par DickG Voir le message
    Je ne comprends pas, qu'est ce qu'un antécédent ?
    Je m'étais trompé ce n'était pas les antécédents par fm'(x) mais par fm'
    Ce sont les solutions de l'équation fm'(x)=0 en fonction de m

  13. #10
    hhh86

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    si tu préfères j'aurais pu marquer pour fm'(x)=0
    x=(-1+√(1-m²))/m ou x=(-1-√(1-m²))/m
    si ça peut t'aider

  14. #11
    tpeyaourt2008

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    si tu préfères j'aurais pu marquer pour fm'(x)=0
    x=(-1+√(1-m²))/m ou x=(-1-√(1-m²))/m
    si ça peut t'aider
    Je ne comprends pas, moi je trouve :

    x1 = (1-√(1-m²))/-m

    et x2 = (1+√(1-m²))/-m

    Donc pour moi la fonction admet un minimum et un maximum pour x1 et x2, mais à quel moment la fonction n'atteint pas de minimum ?

    Merci de me répondre, c'est un DM que j'ai à faire :S

    EDIT : non en fait j'ai compris cela revient au même nos deux écritures, mais est ce que quelqu'un peut expliquer ce que l'on peut en conclure ? :S

  15. #12
    tpeyaourt2008

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    Je mets un nouveau post, car je n'ai toujours pas compris, Svp si quelqu'un pouvait m'expliquer ce serait bien sympatique !!

    Merci d'avance !

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  17. #13
    pecheur2savon

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    fm(x) = 1 + (mx+1)/(x²-1)

    Donc si m= 1 ou -1 elle est strictement monotone donc pas de minimum/maximum

    Et si m n'est ni 1 ni -1 tu fais un tableau de variations usuel pour chaque positions relatives des zéros de (fm)' par rapport à -1 et 1
    (remarque: les zéros de (fm)' sont dans {-1;1} ssi m=-1 ou 1 qui est ici exclus)

    tu répond donc aux deux questions car dans le deuxième cas elle aura toujours un max ou un min il me semble.

  18. #14
    pecheur2savon

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    tu parle de minimums et de maximums locaux ou globaux
    (en général quand on ne précise pas c'est global)

    quand tu divise par m dans x1 et x2 il faut avoir exclus m=0
    avant ce qui ne pose pas de problème à étudier

  19. #15
    pecheur2savon

    Re : Exercice : dérivée et étude d'une fonction

    (fm)'=0 ne suffit pas pour avoir un minimum ou un maximum (ni global ni local) d'où le tableau de variations.
    exemple classique: x^3 en 0

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