Problème de somme de n termes ...

[invitef1a62b17]

Bonjour à tous !!

Voilà, j'ai un exercice à faire, voici son énoncé :

On considère la somme S(n) des cubes des n premiers entiers naturel non nuls, on a donc :

S(n) = 1^3+2^3+3^3+4^3 .... +n^3.

On se propose dans cet exercice de démontrer la formule suivante :

S(n)= ((n(n+1))/2)² (E)

Imaginez un procédé simple qui permette de vérifier la formule.


Alors, j'ai commencé par trouver une valeur de S(n)

S(n)= (somme des termes extrêmes) * (nombre de termes)/2

Et en développant, je trouve S(n)= (n^4+n)/2

Et je ne vois donc pas comment arriver à ((n(n+1))/2)²

J'aimerais une piste s'il vous plaît

Merci.
-----

[invite113772dc]

tu sais faire un resonnement par recurrence ????

[invite113772dc]

1---> montrer que la relation est vraie au rang n=1
2---> supposons que la relation est vraie
soit p entiers naturel arbitraire
par déf,

[invitef1a62b17]

Justement, j'arrive pas à finir ce raisonnement par récurrence.

L'initialisation est réussie, mais je n'arrive pas à prouver que S(n+1)=T(n+1), je dois prouver que :

(-n^4+2n^3+n²-2n+2)/4 = 0

Et là, je crois que j'ai fait une bêtise, comment prouver l'hérédité de l'initialisation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite113772dc]

1---> montrer que la relation est vraie au rang n=1
2---> supposons que la relation est vraie
soit p entiers naturel arbitraire
par déf,
donc
supposons que
alors
alors
alors
p²+4p+4 = (p+2)² identité remmarquable ^^
alors
on pose p+1=m
on retrouve
reste plus qu'à conclure ........

[invitef1a62b17]

Ah, d'accord, c'est beaucoup plus court que ce que j'étais en train de faire ...

Merci beaucoup

[invitef1a62b17]

Bon, je vais pas ouvrir un autre topic pour le même genre de problème, alors je le fais ici :

On a la suite U(n) avec U(0)=0, U(1)=racine de 6 (désolé, je sais pas écrire les racines ), U(2)= racine de (6+ (racine de 6))

Donc, la suite U(n) est définie ainsi :

Quel que soit n dans N (ensemble des entiers naturels), U(n+1)= racine de (6 + U(n))

J'ai trouvé cette définition de la suite U(n), et j'aimerais savoir si je suis parti sur la bonne piste pour démontrer que la limite de U(n) = 3 :

Il faut démontrer par récurrence que U(n+1)-U(n) = 3

Est-ce un bon départ ?

[invite113772dc]

non ceci est faux !
"si lim u(n) = 3 alors lim (u(n+1)-u(n)) = 3" c'est coplémenté faux car si u(n) a un limite reel lim (u(n+1)-u(n))=0 car elle converge

[invite113772dc]

fait toi un beau dessin avec la droite y = x et obseve la situation