exo nombres complexes

[invite97906d61]

voilà j'ai un exercice de maths à faire, et je m'en sors pas trop, donc si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa..

exercice :
l'objectif de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : 8z^6+1 =0

1)a) montrer qu'il existe 3 réels a,b et c que l'on précisera tels que, pour tout nombre complexe Z, on ait : Z^3+ 1 = ( Z + 1)(aZ^2 + bZ + c)

b) résoudre danc C l'équation : Z^3+ 1 = 0


2) soient deux réels x et y tels que 1 + i (racine de) 3 = ( x +iy )^2 .
calculer x^2 + y^2 , x^2 - y^2 et xy .
en déduire x et y .


3) en utilisant les résultats des questions précedentes résoudre (E)
-----

[invite5150dbce]

a/ plusieurs méthodes :
1/développons ( Z + 1)(aZ^2 + bZ + c)
( Z + 1)(aZ^2 + bZ + c)
=AZ^3+bZ^2+cZ+aZ^2+bZ+c
=AZ^3+(a+b)Z^2+(b+c)Z+c
Pour que Z^3+1=( Z + 1)(aZ^2 + bZ + c), on doit avoir :
a+b=0
b+c=0
c=1
d'où c=1, b=-c=-1 et a=-b=1

2/Factorisons Z^3+1:
Développons (a+b)³ :
(a+b)³=a³+b³+3a²b+3ab²
a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)
a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)
Z^3+1=(Z+1)(Z²+1-Z)

[invite5150dbce]

b/Z³+1=0 <==> ( Z + 1)(Z²-Z+1)=0
<==> Z=-1 ou Z²-Z+1=0
<==> Z=-1 ou (Z-1/2+ir(3)/2)(Z-1/2-ir(3)/2)=0
<==> Z=-1 ou Z=1/2-ir(3)/2 ou Z=1/2+ir(3)/2

[invite97906d61]

pour la question 2 , à x^2 - y^2 on trouve -1r3/2xy - i( -1/2xy) , pour xy on trouve -1r3/2 + i( 1 -1x^2 +1y^2)/-2 ??

[A voir en vidéo sur Futura]