Exo: le théoréme des valeurs intérmidiaires!

[invite139627a8]

Salut à Tous,
j'ai un exercice que j'ai eu le mal à achever sa démonstration
voilà la question:
Démontrez que l'équation:Σk=1=>k=n(coskx)=0admet au moins une seule solution sur l'intervalle [0,π]
pour démontrer ce résultat , on doit trouver f est continue sur l'intervalle [0,π],puis on doit trouver que f(0).f(π)<0
f(0)=1
f(π)=1+cos pi+cos 2pi+cos3pi...+cosnpi=1-1+1-1...=0 ce qui fait f(0).f(pi)<ou = 0
est-ce correct? que doit-je faire? merci infiniment d'avance.
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[Jeanpaul]

f(0)=1
f(π)=1+cos pi+cos 2pi+cos3pi...+cosnpi=1-1+1-1...=0 ce qui fait f(0).f(pi)<ou = 0
est-ce correct?

Pas correct, non, quoique l'idée de départ soit juste.
D'abord f(0) ne vaut pas 1, ensuite f(pi) ne vaut pas zéro, enfin pas toujours.
Tu dois raisonner sur 2 cas, selon que n est pair ou impair et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires dans les 2 cas.

[invite139627a8]

Resalut,
ce que j'ai compris de votre réponse est que je dois diviser cette question sur deux cas: le 1er si k est impair l'autre si k est pair.c'est cela ?Merci

[Jeanpaul]

k est une variable entre 1 et n. C'est la parité de n qu'il faut regarder.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite139627a8]

D'accord, merci

[invite139627a8]

voilà , j'ai refais l'exercice:
f est continue sur R et sur [0,pi]en particulier
f(0)=2
f(pi)=1+cospi+cos 2pi...+cosnpi
si n est pair;f(pi)=0
donc f admet au moins une solution sur [0,pi]
si f est impair; f(pi)=-1
=>f(0).f(pi)<0
dans les 2 cas f admet une seule solution sur l'intervalle [0;pi]
qu'en pensez vous?

[Jeanpaul]

D'accord sauf que f(0) ne vaut pas 2 non plus : 1 + 1 + 1 + 1 (n fois) ça ne fait pas 2.

[invite139627a8]

oui , je l'ai rectifié merci f(0)=n