Polynome

[invite8b888598]

bonsoir j'ai un devoir maison pouvez vous vérifier svp
Merci d'avance

exercice 1 :
Pour tout nombre complexe z , on pose : P(x)= z³-2z²+z-2

1)montrer que 2 est une racine du polynome P

P(2)= (2)³-(2)(2)²+2-2
p(2) = 0

donc 2 est une racine du polynome
est ce que racine du polynome = zéro du polynome ?

2) en déduire une factorisation de p(z)

2 est un zéro du polynome factorisable sous forme : (x-2)(ax²+bx+c)

developper : ax³+bx²+cx-2ax²-2bx-2c
ordonner : ax³ + bx²-2ax²+cx-2bx-2c
identifier : ax ³= z³ donc a=1

bx²-2ax² = -2z²
b-2 = -2
b = 0

-2c=-2
c=1

donc p(x) = (x-2) (x²+0x+1) = (x-2) ( x²+1)

3) résoudre dans C l'équation p(z) = 0

x-2=0 et x²+1=0
x=2 x² = 1 et -1 donc x = racine de 1 et -racine de 1

4) résoudre dans c l'équation ( z-1 / z+1 )³-2(z-1 /z+1)² + (z-1 /z+1 ) -2 =0

pour celui la je bloque :s
-----

[God's Breath]

Avec ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

exercice 1 :
Pour tout nombre complexe z , on pose : P(x)= z³-2z²+z-2

1)montrer que 2 est une racine du polynome P

P(2)= (2)³-(2)(2)²+2-2
p(2) = 0

donc 2 est une racine du polynome
est ce que racine du polynome = zéro du polynome ?

OK !
Pour moi, zéro et racine sont synonymes. Maintenant, y a-t-il une subtilité ?
Oh ! Matheux tout puissant ! Venez à notre aide, merci !

2) en déduire une factorisation de p(z)

2 est un zéro du polynome factorisable sous forme : (x-2)(ax²+bx+c)

developper : ax³+bx²+cx-2ax²-2bx-2c
ordonner : ax³ + bx²-2ax²+cx-2bx-2c
identifier : ax ³= z³ donc a=1

bx²-2ax² = -2z²
b-2 = -2
b = 0

-2c=-2

c=1

donc p(x) = (x-2) (x²+0x+1) = (x-2) ( x²+1)

1. Dans ce qui précède, change tes x en z
2. L'identification doit être posée comme un système d'équations à résoudre :
(avec une jolie accolade devant )
a=1
b-2a=-2
c-2b=1
-2c=-2

...

On aboutit à ton résultat mais c'est pour la rédaction...

3) résoudre dans C l'équation p(z) = 0

x-2=0 et x²+1=0
x=2 x² = 1 et -1 donc x = racine de 1 et -racine de 1

Encore les x à transformer en z
1. Ce n'est pas "et". z ne peut pas prendre simultanément deux valeurs.
2. Peux-tu m'expliquer l'obtention de ce qui est en gras à la fin ?

4) résoudre dans c l'équation ( z-1 / z+1 )³-2(z-1 /z+1)² + (z-1 /z+1 ) -2 =0

pour celui la je bloque :s

Bon là, God's Breath a tout dit

Duke.

[invite8b888598]

oh merci j'avais pas vu pour les x :s

pour la question 3) vu qu'on a x² il peut y avoir deux résultats possibles et le carré devient racine de l'autre coté on met pas et mais ou ^^

pour la 4) je developpe au début c'est sa ?

(z-1/z+1)³-(2z-2/z+1)² + (z-1/z+1)-2 = 0
apres je cherche un facteur commun

j'ai pas compris z'= z-1/z+1 dsl ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

oh merci j'avais pas vu pour les x :s

pour la question 3) vu qu'on a x² il peut y avoir deux résultats possibles et le carré devient racine de l'autre coté on met pas et mais ou ^^

pour la 4) je developpe au début c'est sa ?

(z-1/z+1)³-(2z-2/z+1)² + (z-1/z+1)-2 = 0
apres je cherche un facteur commun

j'ai pas compris z'= z-1/z+1 dsl ?

Pour 3), seulement !... donc

Si tu remplaces par (c'est un changement de variable), ne retrouves-tu pas l'équation p(z') = 0 ?

Comme tu connais les solutions z' (qui sont les zéros des questions précédentes), tu détermines assez rapidement les z tels que . (ATTENTION ce ne sont pas les z précédents )

Comprends-tu ?

Duke.

[invite8b888598]

donc enfainte z'=2 donc j'ai juste a remplacer les z par 2 ?

[Duke Alchemist]

non...

Les solutions de p(z)=0 sont z=2 ou z=i ou z=-i, OK ?

Les solutions de p((z-1)/(z+1))=p(z')=0 (Le z' est par comodité) sont donc celles qui vérifient :
(z-1)/(z+1)=2
(z-1)/(z+1)=i
(z-1)/(z+1)=-i

Il te faut trouver les solutions en z dans chacun de ces cas.

Comprends-tu maintenant ?

[invite8b888598]

ah nan j'ai compris mais comment montrer que (z-1/z+1)^3 = z^3 ? idem pour le reste

[invite8b888598]

(z-1)/(z+1)=2
donc sa fait
z-1 = 2(z+1)
z-1 = 2z +2
z -2z = 2 +1
-z = 3
z = -3 je vois pa a quoi ce résultat peut nous servir :s

idem pour les autre
(z-1)/(z+1) = i
z-1 = i(z+1)
z- 1 = iz + i
z-iz ....