Vecteurs appartenant a un plan vectoriel

[inviteb88ab756]

Bonjour a tous,

J'ai un petit problème avec un exo sur les vecteurs

Enoncé:

"Déterminer deux vecteurs non colinéaires appartenant au plan vectoriel de R^3 d'équation
x+3y-8z=0 "

Mon prof a corrigé cette exo en TD mais bon il a juste "parachuté"
les resultats sans explication (ou alors il a donné les explication oralement et j'ai pas suivi ^^)

u=(x1,y1,z1) --> x1+3y1-8z1=0
v=(x2,y2,z2) --> x2+3y2-8z2=0

u=(2,2,1) et v=(1,3,5/4)
Viens maintenant la question toute bête:
comment fais on pour trouver u et v par le calcul?

Merci d'avance pour les réponses
-----

[inviteb88ab756]

s'il vous plait aidez moi

[invite9c9b9968]

Hello,

Ce que je te propose ne va pas peut-être pas te donner exactement les vecteurs que te propose ton prof, mais cela va résoudre ta question.


Tout d'abord, on te demandes 2 vecteurs, donc déjà il faut en exhiber un.

Il suffit de prendre les bons coefficients pour que tu vérifies x+3y-8z = 0, sachant qu'il y a une infinité de vecteurs dans ce plan

C'est de là que sort le u=(2,2,1) (donc à ce stade, ce n'est pas vraiment du calcul)

Mais tu aurais pu tout aussi bien fixer les deux premières composantes à 1, ie x1=1 et y1=1 ; nécessairement alors puisque x1+3y1-8z1 = 0, tu as z1=1/2 et le vecteur (1,1,1/2) appartient aussi à ton plan.

Je te suggère de m'en donner encore un troisième pour voir si tu as saisi ce que je t'indique

Une fois que tu as ce premier vecteur, pour en trouver un deuxième qui soit colinéaire tu peux imposer par exemple que u et v sont orthogonaux (tu seras sûr que u et v ne sont pas colinéaires du coup !)

Quelle équation cela te donne, pour (x2,y2,z2) ?

Enfin sache qu'il y a une infinité encore de possibilité, je te suggère donc de fixer arbitrairement x2=1. Essaye de voir ce que ça donne pour y2 et z2.

[inviteb88ab756]

Hello,

Ce que je te propose ne va pas peut-être pas te donner exactement les vecteurs que te propose ton prof, mais cela va résoudre ta question.


Tout d'abord, on te demandes 2 vecteurs, donc déjà il faut en exhiber un.

Il suffit de prendre les bons coefficients pour que tu vérifies x+3y-8z = 0, sachant qu'il y a une infinité de vecteurs dans ce plan

C'est de là que sort le u=(2,2,1) (donc à ce stade, ce n'est pas vraiment du calcul)

Mais tu aurais pu tout aussi bien fixer les deux premières composantes à 1, ie x1=1 et y1=1 ; nécessairement alors puisque x1+3y1-8z1 = 0, tu as z1=1/2 et le vecteur (1,1,1/2) appartient aussi à ton plan.

Je te suggère de m'en donner encore un troisième pour voir si tu as saisi ce que je t'indique

Une fois que tu as ce premier vecteur, pour en trouver un deuxième qui soit colinéaire tu peux imposer par exemple que u et v sont orthogonaux (tu seras sûr que u et v ne sont pas colinéaires du coup !)

Quelle équation cela te donne, pour (x2,y2,z2) ?

Enfin sache qu'il y a une infinité encore de possibilité, je te suggère donc de fixer arbitrairement x2=1. Essaye de voir ce que ça donne pour y2 et z2.

Ok j'ai compris
u=(1/2,1/2,1/4) --> autre exemple de vecteur qui appartient a P
(qui est colinéaire avec les vecteurs (1,1,1/2) et (2,2,1) )

u et v orthogonaux (u et v sont perpendiculaires) --> u.v=0

donc (1/2)x2 +(1/2)y2 +(1/4)z2 =0

Si on prend x2 =1 et y2 =1 --> z2 = -4

je sais pas pourquoi j'ai imaginé quelque chose de plus compliqué...

Je bloque aussi sur un autre exo (promis c'est le dernier ^^)

Enoncé: " Donner une condition nécessaire et suffisante sur m appartient a R pour que les 3 plans vectoriels de R^3 d'équations:
x-2y+z = mx , 3x-y-2z = my, 3x-2y-z=mz
contiennent une même droite vectorielle"

tu peux me donner des indications pour résoudre cet exo stp ?
je pense que je dois utiliser les matrices mais je vois pas comment je dois résonner ....

merci en tout cas de me répondre

[A voir en vidéo sur Futura]