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Problème factorielle raisonnement par recurrence



  1. #1
    h2terrorist

    Problème factorielle raisonnement par recurrence


    ------

    salut ,

    j'ai un DM a faire pour la rentree et j'ai un petit problème avec un exercice

    voila l'enoncé:

    démontrer que pour tout entier naturel n>=7 , n!>3^n

    j'ai essayé un raisonnement par recurrence mais je bloque a la partie hérédité pour démontrer que (n+1)!>3^(n+1)

    quelqu'un pourrait til me donner des pistes pour débloquer ma situation .

    -----

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  4. #2
    Antho07

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence


  5. #3
    Arkangelsk

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    Salut,

    Comment fais-tu pour passer de à ?

  6. #4
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    dans l'hypothèse de recurrence il faut supposer que il existe n tel que n!>=3^n pour démontrer l'hérédité il faut démontrer que (n+1)!>=3^(n+1)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    mais quand on multiplie les deux membres de l'inégalité n!>3^n par (n+1) on a

    (n+1)!>3^n*(n+1), et je suis bloqué

  9. #6
    Antho07

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    oui et que peut ton dire de n+1 par rapport à 3?

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  11. #7
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    n+1 est supérieur à 3 mais on fait comment pour introduire 3^(n+1)

  12. #8
    Antho07

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    Citation Envoyé par h2terrorist Voir le message
    n+1 est supérieur à 3 mais on fait comment pour introduire 3^(n+1)

  13. #9
    Arkangelsk

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    = x

    Je te laisse conclure.

  14. #10
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    oui mais si on multiplie les deux membres de l'inegalité par 3, on a

    3(n+1)!>3^n*3(n+1) <=> 3(n+1)!>3^n+1 (n+1) et ca bloque

  15. #11
    Arkangelsk

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    On ne multiplie pas les 2 membres de l'inégalité par !

  16. #12
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    comment on fait alors pour obtenir 3^(n+1)

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  18. #13
    Arkangelsk

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    Eh bien, on majore , mais on n'obtient pas !

  19. #14
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    comment le majorer

  20. #15
    Arkangelsk

    Re : Problème factorielle raisonnement par recurrence

    Citation Envoyé par h2terrorist Voir le message
    comment le majorer
    Un conseil : relis un peu et réfléchis, au lieu de poster sans réfléchir ! Tu as tous les éléments.

  21. #16
    Antho07

    Re : Problème factorielle raisonnement par recurrence

    Bien que majorer quelque chose ne soit pas courant dans les raisonnements de terminal.
    On verifira facilement que si a est positif ou de maniere general si ,

  22. #17
    h2terrorist

    Re : Problème factorielle raisonnement par recurrence

    je n'y arrive vraiment pas

  23. #18
    Antho07

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    On a



    or

    d'ou



    mais nous on veut



    or tu as dit à juste raison que

    T'y vois plus clair?


    Ce qu'on voudrait pouvoir ecrire c'est que

    Dernière modification par Antho07 ; 26/10/2008 à 13h28.

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  25. #19
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    oui je comprend mieux

  26. #20
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    mais non au fait je trouve toujours rien puisque

    (n+1)x3^n>= 3^n <=> 3^(n+1)x(n+1)>= 3^(n+1)

  27. #21
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    alors que dans l'autre inegalité ya pas 3^(n+1)x(n+1)

  28. #22
    h2terrorist

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    à moins que comme n>=7 (dans l'enoncé), (n+1)>3 <=> (n+1)x3^n>3x3^n

    donc (n+1)x3^n> 3(n+1)

    c parait logique??

  29. #23
    Antho07

    Re : problème factorielle raisonnement par recurrence

    (n+1)>3

    =>

    (n+1)* 3^n > 3*3^n

    et c'est fini

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