Logarithme

[invite7d436771]

Bonjour,

il y a un petit problème c'est quoi le sens de variation de f(x) = x - e^x ??

Toujours pareil : quel est la dérivée ? Quand s'annule t elle ? Donc son signe ?

Cordialement,

Nox
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[invitec3f63e10]

Oui j'ai sa dérivée c'est f'(x) = 1- e^x

Ben son signe c'est ... attends 1 - e^x est différent de 0, donc e^x = 1
elle s'annule en 1 non? et puis comme le coefficient directeur de e^x est -1, donc f' est positive sur ]-00;1] et négative sur [1,+oo[
f est croissante dans le 1er intervalle, et décroissante dans le 2ème intervalle.

Voila mais enfin je ne suis pas sûr, je veux juste que vous corrigiez mes erreurs...

[NicoEnac]

elle s'annule en 1 non?

En es-tu sûr ? 1-e^1 = 0 ?

[invitec3f63e10]

Aucune idée, je suis entrain de demander de l'aide ou du moins de m'expliquer.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Oui j'ai sa dérivée c'est f'(x) = 1- e^x

OK

Ben son signe c'est ... attends 1 - e^x est différent de 0, donc e^x = 1
elle s'annule en 1 non? et puis comme le coefficient directeur de e^x est -1, donc f' est positive sur ]-00;1] et négative sur [1,+oo[
f est croissante dans le 1er intervalle, et décroissante dans le 2ème intervalle.

Le signe de 1-e^x.
Tu sais que e^x est strictement croissante donc -e^x est décroissante et 1-e^x aussi.
Cherchons l'éventuelle valeur annulatrice de 1-e^x.
1-e^x = 0 <=> e^x = 1 (> 0 c'est bon signe )
Pour trouver x, il faut utiliser la fonction ln (car ln(e^a) = a pour a>0) et on trouve x = ...

Par conséquent :
* avant cette valeur, la dérivée est ... et la fonction est donc ...
* après cette valeur, la dérivée est ... et la fonction est donc ...
* en cette valeur la fonction admet un extremum (ici un ...)

Il ne te reste plus qu'à compléter les "..."

Duke.

EDIT :

et puis comme le coefficient directeur de e^x est -1

C'est quoi ça ?

[NicoEnac]

Eh bien à ta place j'aurais pris ma calculatrice et j'aurais calculé 1-e^1 qui est.........différent de zéro !
<=> <=>

Edit : grillé par Duke

[invitec3f63e10]

Attendez, laissez-moi réfléchir!

Oui on a ça: 1-e^x = 0 <=> e^x = 1
Or 1=e^0
Donc e^x=e^0
Soit x=0
Ben f s'annule en 0

Ou, 1-e^x = 0 <=> e^x = 1
Donc x = ln(1)
ln(1) c'est 0
Ben la encore f s'annule en 0

Bref pour le sens de variation comme le coefficient directeur de e^x est -1, donc f' est positive sur ]-00;0] et négative sur [0,+oo[

En fait là je considère e^x comme un x par exemple ax+b, c'est pourquoi j'ai mis le négatif dans [0,+oo[ et positif ]-00;0]

Non???

[Duke Alchemist]

Re-

Oui on a ça: 1-e^x = 0 <=> e^x = 1
Or 1=e^0
Donc e^x=e^0
Soit x=0
Ben f s'annule en 0

Ou, 1-e^x = 0 <=> e^x = 1
Donc x = ln(1)
ln(1) c'est 0
Ben la encore f s'annule en 0

Ce que tu trouves c'est f '(0)=0 dans un premier temps mais f(0) n'est pas nul !

Bref pour le sens de variation comme le coefficient directeur de e^x est -1, donc f' est positive sur ]-00;0] et négative sur [0,+oo[

Je ne comprends toujours pas ce qui est en gras

En fait là je considère e^x comme un x par exemple ax+b, c'est pourquoi j'ai mis le négatif dans [0,+oo[ et positif ]-00;0]

"Kestudi ?"

Duke.

[invitec3f63e10]

Re-Ce que tu trouves c'est f '(0)=0 dans un premier temps mais f(0) n'est pas nul !

ca je ne pige rien !!!

Ben mdrrrrrrr d'abord c'est quoi le sens de variation? et comment t'as fait? il y a une méthode fixe?

[Duke Alchemist]

Re-

Tout cela n'est pas très clair pour toi car tu ne sembles pas bien maîtriser le vocabulaire semble-t-il...

Partons de ton exemple : f(x) = x - e^x.

• Pour le domaine de définition pas de problème, c'est lR.
  
• Pour les limites :
  - en : c'est
  - en : c'est (en factorisant par e^x cela se retrouve très vite)
  
• Pour le sens de variation (c'est-à-dire sa monotonie, la façon dont elle va varier) :
  Rien qu'avec ce qui précède, on se rend compte que la fonction va être croissante puis décroissante. Vérifions-le.
  Pour cela, on utilise (maintenant qu'on est grand et fort) la dérivation.
  La fonction est dérivable sur lR (car somme de fonctions dérivables...).
  La dérivée est : f '(x) = 1 - e^x
  
• Etudions cette dérivée : cherchons la valeur annulatrice.
  f '(x) = 0 <=> e^x = 1 <=> x = 0
  La dérivée s'annule donc en x = 0.
  La fonction f admet donc un extremum en x = 0.
  Les coordonnées de cet extremum sont (0,f(0)) soit (0,-1).
  
  - Pour x<0, on a e^x < 1 donc f '(x)>0 et f est croissante sur lR_-*
  - Pour x>0, on a e^x > 1 donc f '(x)<0 et f est décroissante sur lR₊*
  
  En passant, l'extremum est un maximum.

Youpi !

[invitec3f63e10]

mmm Je ne savais pas qu'on doit faire ça
Je vais reessayer.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je précise que mon message précédent n'était qu'un exemple de ce qui pourrait t'être demandé.
J'ai fait une étude de la fonction pour t'expliquer un peu les différentes étapes maintenant cela dépend beaucoup de ton sujet

Cordialement,
Duke.