Logarithme

[invitec3f63e10]

salut à vous tous,

est ce que ln^3(x) est pareil que ln(x)^3 ??

Merci de vos réponses.
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[inviteed6e6434]

bonsoir, ta question manque de précision, si tu veux savoir si ln(x^3) et (ln(x))^3 c'est la même chose, la réponse c'est non évidemment, ln(x^3)=3*ln(x)
si c'est pas ça que tu demandes, merci de reformuler ta question

[invite7d436771]

Bonsoir,

Oui, il s'agit d'une simple notation, comme pour cos²(x) ou sin²(x) par exemple. Sauf si tu es en post-bac, auquel cas il peut s'agir d'une composition de fonction, mais ça m'étonnerait ici.

Cordialement,

Nox

[invitec3f63e10]

C'est vrai c'est la même chose???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3f63e10]

ben voila l'expression de la fonction f(x) = ln^3(x) - 3ln(x)

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

ben voila l'expression de la fonction f(x) = ln^3(x) - 3ln(x)

C'est bien f(x) = ln³x - 3 lnx ?... Et non ça ne fait pas 0

Je vois le coup du "Résoudre f(x)=0."
On posera X=ln(x), on factorise, on trouve les solutions en X et on déduit les solutions x de l'équation.

Ma boule de cristal est-elle cassée ?

Duke.

[invitec3f63e10]

Attends, tu poses X = lnx , donc l'expression devient f(x)= X^3 - 3X ???
Non ce n'est pas possible parce que là la puissance de 3 est l'intérieur et non pas à l'extérieur (lnx^3)

[invitec3f63e10]

Il y a un truc que je n'ai pas compris, est ce que x est supérieur à 0 ou ln x est supé a 0? Par exemple, on a f '(x)= (1-lnx)/x^2 (ici c'est f '(x) j'ai calulé la dérivée d'une fonction donnée).Pour faire le tableau de variation, on sait que 1-lnx est négatif donc strictement décroissant sur 0 et +00. Bref, j'ai montré ça au prof, il m'a dit que c'est faux, après je ne sais pas comment il m'a expliqué genre x supérieur a 0 donc ln x ... je me rappelle. mais dans le tableau de variation la réponse est que f est croissante dans un intervalle et décroissante dans un autre intervalle. Je ne sais pas comment il a fait :-S

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Attends, tu poses X = lnx , donc l'expression devient f(x)= X^3 - 3X ???
Non ce n'est pas possible parce que là la puissance de 3 est l'intérieur et non pas à l'extérieur (lnx^3)

Il y a bien une confusion.
Pour reprendre clairement :
ln(3x) = ln(3) + ln(x),
ln(x³) = 3 ln(x)
ln³(x) = (ln(x))³ = ln(x)*ln(x)*ln(x)
Ces trois écritures sont bien différentes ! (en italique, les expressions développées)

Il y a un truc que je n'ai pas compris, est ce que x est supérieur à 0 ou ln x est supé a 0? Par exemple, on a f '(x)= (1-lnx)/x^2 (ici c'est f '(x) j'ai calulé la dérivée d'une fonction donnée).Pour faire le tableau de variation, on sait que 1-lnx est négatif donc strictement décroissant sur 0 et +00. Bref, j'ai montré ça au prof, il m'a dit que c'est faux, après je ne sais pas comment il m'a expliqué genre x supérieur a 0 donc ln x ... je me rappelle. mais dans le tableau de variation la réponse est que f est croissante dans un intervalle et décroissante dans un autre intervalle. Je ne sais pas comment il a fait :-S

Ce qui est gras ci-dessus est faux ! C'est là ta principale erreur.

Quelques rappels :

• Elle est définie sur lR₊^* (pour les réels strictement positifs)
• La fonction ln est strictement croissante sur lR₊^*.
• Elle est négative pour x<1
• Elle s'annule en x=1 (ln1=0)
• Elle est positive pour x>1
• Une valeur particulière : ln(e) = 1 (avec e le nombre d'Euler)

Pour le signe de 1-ln(x), il te faut utiliser ce que je viens de rappeler.

Réessaye de ton côté et dis-moi ce que tu trouves.

Duke.

[invitec3f63e10]

pour ln^3(x) ... j'ai bien compris et je suis tout a fait d'accord.

Mais comment tu sais que x<1 ?????

[invite7d436771]

Bonsoir,

pour ln^3(x) ... j'ai bien compris et je suis tout a fait d'accord.

Mais comment tu sais que x<1 ?????

Duke n'a fait que te rappeler les propriétés de la fonction logarithme (népérien) qui change de signe en x=1. Pour le signe de 1-ln(x), il faut regarder quand cette expression s'annule ...

Cordialement,

Nox

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Mais comment tu sais que x<1 ?????

Duke n'a fait que te rappeler les propriétés de la fonction logarithme (népérien) qui change de signe en x=1...

En effet.

Maintenant, il est possible de voir que c'est une propriété commune et valable pour tous les logarithmes (quelque soit la base dans laquelle il s'exprime).

On a bien pour toute base a (positive) :
log(a^x) = x log(a) (propriété du log)
Si x=0 alors a^x=0, OK ?
Ainsi log(1) = 0 et ce, quelque soit a.


Rappel : log_a(x) = ln(x)/ln(a)
Nous déduisons donc :
* log₁₀(x) = ln(x)/ln(10) (logarithme décimal, noté Log(x) parfois)
* log_e(x) = ln(x)/ln(e) = ln(x) puisque par définition ln(e)=1.
Ainsi ln est le logarithme en base e.

Duke.
(qui se demande soudainement si il n'a pas écrit trop de bêtises dans les notations)

[invite7d436771]

Bonsoir,

On a bien pour toute base a (positive) :
Si x=0 alors a^x=0, OK ?
Ainsi log(1) = 0 et ce, quelque soit a.

(qui se demande soudainement si il n'a pas écrit trop de bêtises dans les notations)

Juste une petite inattention : Si x=0 alors a^x=1 et non 0

Cordialement,

Nox

[Duke Alchemist]

Bonsoir,



Juste une petite inattention : Si x=0 alors a^x=1 et non 0

Cordialement,

Nox

Bien entendu
Merci encore Nox

Cordialement,
Duke.

[invitec3f63e10]

Il y a un petit problème (autre sujet complètement)

faire le tableau de variation de l'exponnentielle :-s

par exemple: f(x) = e ^( (1+x)/(1-x) )

Je sais qu'il faut calculer sa dérivée, mais après?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Il y a un petit problème (autre sujet complètement)

faire le tableau de variation de l'exponnentielle :-s

par exemple: f(x) = e ^( (1+x)/(1-x) )

Je sais qu'il faut calculer sa dérivée, mais après?

En effet.
Et que trouves-tu comme dérivée ?

Après, c'est comme d'habitude, il faut étudier le signe de cette dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction...
Classique quoi

Duke.

[invitec3f63e10]

e ^( (1+x)/(1-x) ) a de la forme e^u(x)
Sa dérivée est de la forme u'(x).e^u(x)

Bref la dérivée de f c'est f'(x)= ((2)/ (1-x)^2 ) . e^( (1+x)/(1-x) )


pfff je ne sais pas comment étuider le signe f'

[Duke Alchemist]

Re-

Il te suffit d'étudier le signe du facteur préexponentiel. L'exponentielle étant, elle, toujours strictement positive

[invitec3f63e10]

D'accord dans ce cas là le signe de f' est positif sur R

[Duke Alchemist]

En effet

[invitec3f63e10]

mdrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
Mais j'ai dit n'importe quoi!!
J'étais pas sûr de ma réponse
Mais attends, si on me donne n'importe quelle expression de f, je ne vais pas toujours dire qu'elle est positive, quand même elle peut être négative.
Mais mon gros seul problème je ne sais pas étudier le signe d'une expression (n'importe quelle expression) qui contient un "ln" ou "e" c'est ça mon gros problème, il m'énerve sinon le reste je m'en sors très bien.

[Duke Alchemist]

Re-

mdrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
Mais j'ai dit n'importe quoi!!
J'étais pas sûr de ma réponse

Mais attends, si on me donne n'importe quelle expression de f, je ne vais pas toujours dire qu'elle est positive, quand même elle peut être négative.

Ben c'est sûr qu'il vaut mieux éviter...

Mais mon gros seul problème je ne sais pas étudier le signe d'une expression (n'importe quelle expression) qui contient un "ln" ou "e" c'est ça mon gros problème, il m'énerve sinon le reste je m'en sors très bien.

Le principe est toujours le même pourtant.

Si c'est avec l'exponentielle, tu n'as pas de questions à te poser :
l'exponentielle d'un réel quelconque est toujours strictement positive
La courbe exp est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

Si c'est avec le logarithme (népérien ou n'importe lequel par ailleurs) :
le logarithme est négatif pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle ]0;1[. Il est nul en 1. Il est strictement positif pour tout réel strictement supérieur à 1.
La courbe ln est en dessous de l'axe des abscisses pour x appartenant à ]0;1[ puis au-dessus de cet axe pour x supérieur à 1.

Pour le reste, type polynômial à mettre sous forme de facteur ou de quotient, il faut passer par un tableau de signe le plus souvent.
Bien se rappeler que les expressions aux puissances paires sont toujours positives (ou nulles).

Cordialement,
Duke.

[invitec3f63e10]

mmmm je commence à comprendre!

Merci beaucoup de ton aide.

[invitec3f63e10]

Attends! Ln est toujours positif sur ]0;+oo[. Ce ln n'est jamais négatif

"le logarithme est négatif pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle ]0;1[. Il est nul en 1. Il est strictement positif pour tout réel strictement supérieur à 1." ??????????????????????

[Duke Alchemist]

Re-

Non non je t'assure que je n'ai pas dit de bêtise (pour une fois ).
La représentation graphique de la fonction ln est celle-ci.

Attends! Ln est toujours positif sur ]0;+oo[. Ce ln n'est jamais négatif

Tu dois confondre le domaine de définition (ln est définie pour tout x réel strictement positif) et le domaine image qui est l'ensemble des réels (positifs et négatifs).

Duke.

[invitec3f63e10]

ah j'ai compros là XD

en fait je suis entrain de faire un exercice mais je suis bloqué sur:

limite de f(x) =e ^( (1+x)/(1-x) ) en 1 sachant que f est défini sur R-{1}

Bon je vais essayer,
- en 1+
lim de (1+x)/(1-x) quand x tend vers 1+ est = +oo
lim de e^X quand X tend vers +oo est = +oo
Donc par composition lim de e ^( (1+x)/(1-x) ) quand x tend vers 1+ est = +oo

-en 1-
lim de (1+x)/(1-x) quand x tend vers 1- est = -oo
lim de e^X quand X tend vers -oo est = 0
Donc par composition lim de e ^( (1+x)/(1-x) ) quand x tend vers 1- est = 0

Est ce que c'est juste?

Pourquoi je suis bloqué? Parce que quand je vois f' est positif donc f est croissante sur Df=R-{1} alors que les limites me montrent que f est croissante dans un intervalle et est décroissante dans un autre intervalle

Je ne comprends plus!!!!!!

[Duke Alchemist]

ah j'ai compros là XD

en fait je suis entrain de faire un exercice mais je suis bloqué sur:

limite de f(x) =e ^( (1+x)/(1-x) ) en 1 sachant que f est défini sur R-{1}

Bon je vais essayer,
- en 1+
lim de (1+x)/(1-x) quand x tend vers 1+ est = +oo
...

-en 1-
lim de (1+x)/(1-x) quand x tend vers 1- est = -oo
...

Est ce que c'est juste?

Pourquoi je suis bloqué? Parce que quand je vois f' est positif donc f est croissante sur Df=R-{1} alors que les limites me montrent que f est croissante dans un intervalle et est décroissante dans un autre intervalle

Je ne comprends plus!!!!!!

C'est bien de te rendre compte qu'il y a un bug

Le problème est ce que j'ai mis en gras.
En fait, involontairement (je pense par confusion), tu as inversé ces deux lignes.

En fait, en 1⁺, cela signifie quand x->1 avec x>1, on est d'accord ?
Ainsi :


Un truc si tu n'es pas convaincu : prends x=1,01 comme 1⁺. On obtient bien 1-1,01=-0,01<0 (donc 0^-)

Duke.

[invitec3f63e10]

Aaaaaaaaaaaah ouiiiiiiiiii c'est vrai!!!!!!!!!!

[invitec3f63e10]

I'm very haaaaaaaaaaaappy

[invitec3f63e10]

il y a un petit problème c'est quoi le sens de variation de f(x) = x - e^x ??