Tétraèdre

[invite88888826]

Bonjour,
alors voilà, j'ai un exercice à faire mais il a une question qui me pose problème..et je ne peux donc pas faire la suite..
Soit ABCD un tétraèdre quelconque de l'espace. On note respectivement I,J et K les centres de gravité des triangles ABC, ABD et ACD.

1/Placer les points I,J et K sur la figure.
ça, c'est bon!

2/a)Soit M un point quelconque de l'espace. Exprimer, en fonction du vecteur MI, la somme vectorielle: MA + MB + MC

Je troube MA + MB + MC = 3MI.

b) En déduire que les vecteurs IJ et CD sont colinéaires.

Voilà où je bloque. Je sais que pour que ces vecteurs soient colinéaires, il faut que IJ=k CD.. mais je n'arrive pas à le démontrer.

Voilà, si vous pourriez m'expliquer la démarche.
Merci beaucoup.
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[invite0022ecae]

A mon avis, vu que l'égalité est valable pour tout point M, il faut remplacer,de manière judicieuse, M par un point connu dans MA +MB+MC=3MI

[invite88888826]

Merci beaucoup afolab, pour ta réponse.
Heu..justement j'essaye au brouillon de changer ce point M, mais ça ne mène à rien..

[God's Breath]

Bonjour,

Je troube MA + MB + MC = 3MI.

Tu as également , et il te faut, avec l'expression précédente, obtenir une relation entre et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[VegeTal]

bonjour, je te propose de remplacer par et de te souvenir que est l'isobarycentre du triangle ABD. Dis nous ce que tu trouves.

[invite88888826]

Ha merci God's Breath.
Mais J est le centre de gravité du triangle ABD.
Donc ce n'est pas MA + MB + MC = 3MJ
mais plutôt MA + MB + MD = 3MJ ?

Donc: 3MI - MC + MD = 3MJ .

Merci!

[invite88888826]

Heu dsl God's Breath, j'avais mal vu.tu avais bien mis MD...
avec toutes ces lettres je me perd! Désolé.

Et merci VegeTal, j'essaye ça!

[invite88888826]

Donc quand je remplace M par J, je trouve:
JA + JB + JC = JI
Jusque là ça va, mais quel est l'intérêt de se rappeler que J est l'isobarycentre de ABD?

Merci.

[VegeTal]

en décomposant par

[invite88888826]

Ha merci VegeTal.
J'ai compris.
Pour récapituler:
On pose M=J: JA + JB + JC = 3JI
JA + JB + JD = 0

JA + JB + JD + DC = 3JI
Donc DC = 3JI

Donc les vecteurs IJ et CD sont colinéaires!

Merci, merci bcp VegeTal!

[VegeTal]

De rien, surtout rappelles toi toujours que quand on demande une égalité vectorielle (surtout dans le chapitre sur les barycentres), il faudra forcément décomposer à un moment ou à un autre un vecteur

[invite88888826]

Voilà, je bloque encore sur deux questions de cet exercice, pouvez-vous me dire si c'est bon ce que j'écris?:

-Démontrer que les plans (BCD) et (IJK) sont parallèles.
Alors, je pense, que: le vecteur IJ appartient à (IJK)
et le vecteur CD appartient à (BCD), et comme les vecteurs IJ et CD sont colinéaires, les plans (IJK) et (BCD) sont parallèles.

-Soit G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD. Montrer que les droites (DI), (CJ) et (BK) sont concourantes en G. Le point G appartient-il au plan (IJK)?
Donc pour montrer que ces droites sont coucourantes en G, c'est bon, mais pour la 2ème question, c'est plus dur!
Je pense que: comme les droites (DI), (CJ) et (BK) sont concourantes en G, G est aussi le barycentre de I,J et K. Alors, G appartient au plan (IJK).

Merci beaucoup.