Exercice physique et maths mélangé

[invite7a555b01]

J 'ai un exercice à faire en maths qui comme le titre l'indique, mélange maths et physique. J'ai du mal à associé les deux ....

-Une balle de ping-pong est lâchée dans l'air. Le bilan des forces à un instant t >0 conduit au schéma...
F vecteur va vers le haut et P vers le bas (normal)
-F (vecteur) est la force de frottement
-P(vecteur) le poids de la balle

-On note v(t) la vitesse de la balle à l'instant t. Pour t=0 la vitesse est nulle.
-On admet que la valeur de la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse. ...F=(mg/64)*v², ou m est la masse de la balle. g=9.8m.s-1
-D'après la deuxième loi de Newton le bilan des forces conduit à P+F(vecteurs)=ma (a vecteur) ou a vecteur représente l'accélération subie par la balle.
- En projettant sur un axe vertical orienté positivement vers le bas, on obtient, mg-F=m(dv/dt) (1)

1a) Traduire l'équation (1) par une équation différentielle d'inconnue v.


Et là, ça coince déjà.

S'il vous plait aidez-moi, l'exercice est long et déjà je bloque :s
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[invite57a1e779]

Tu as et . Il n'est pas très difficile d'en déduire l'équation différentielle satisfaite par la vitesse : , que l'on peut simplifier en .

[invite7a555b01]

J'avais bien essayé de remplacer mais je ne trouvais pas.

g-g/64 *v²=m*dv/dt

C'est le m qui me pose problème .... parce que si on écrit:

(g-g/64*v²)/m=dv/dt ça complique tout et c'est ici que je m'étais perdu

EDIT: non en fait j'ai compris c'est tellement simpliste que je n'ai pas vu...

[invite7a555b01]

Bon décidément, cet exercice me pose bien des problèmes.
Je vais taper tout le problème si vous pouvez me donner des indices pour avancer se serait très bien.


1b) On admet l'existence d'une solution v de l'équation différentielle trouvée précedemment. Construire une approximation de la courbe représentant v en utilisant la méthode itérative d'Euler, avec un pas h=0.1.
Pour cela, choisir x0=0 et poser pour tout n>0, xn+1=xn+h.
Poser ensuite y0=v(x0) et yn=v(xn)

yn+1=yn+h*9.81(1-y²n/64)
Dans un tableur, affichez les valeurs de xn et yn, pour n compris entre 0et30...
Je ne demande pas que l'on me fasse le tableau !
Le truc idiot que je ne comprends pas: on a pas v...je pense qu'il faut trouver la solution de l'équation différentielle qu'il fallait trouver mais je ne sais pas le faire lorsque l'équation est sous cette forme, alors peut-être que ce n'est pas ça.


2a) On suppose que pour tout t> ou égal à 0, v(t)<8.
On pose alors pour tout t>ou égal à 0, w=1/(v-8).
Déterminer une équation différentielle de la forme y'=ay+b vérifiée par w. Honnêtement, j'ai regardé mon cours et je ne vois pas comment faire. Je pensais devoir dérivé w mais après je vois pas trop quoi faire.

b) Résoudre l'équation en tenant compte des conditions initiales et en déduire v.

c) Au bout d'un certain temps la vitesse se stabilise. Déterminer de deux manières cette vitesse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

a) On suppose que pour tout t> ou égal à 0, v(t)<8.
On pose alors pour tout t>ou égal à 0, w=1/(v-8).

On a donc , d'où et .

L'équation différentielle devient , et on développe qui se simplifie en ou encore .

[invite7a555b01]

Merci bien mais même la suite me pose problème, j'ai quand même essayé:

en fait je ne sais pas trop comment partir.Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme Ce^ax-b/a donc ici ce serait Ce^g/4x-g/64/g/4 soit Ce^9.8/4x-4/64 (en remplaçant g par 9.8)
donc Ce^2.45x - 1/16
Donc pour moi c'est la forme des solutions de l'équation. Mais après on sait seulement que pour t>o, v(t)<8...

[invite57a1e779]

Pour t=0 la vitesse est nulle.

Il faut lire l'énoncé.

[invite7a555b01]

arf oui en effet, désolé.
Merci beaucoup pour ton aide, je ne m'en serai jamais sorti.

Mais j'ai encore une dernière question pour le 1b avec le tableur. on a g-g/64v²=v' comment fait-on pour avoir les solutions avec v²?

[invite57a1e779]

On ne demande pas de résoudre l'équation, mais d'approximer la courbe par la méthode d'Euler (sans doute pour voir si l'hypothèse v<8 est vraisemblable...), donc d'afficher, dans un tableur les valeurs de xn et yn, avec

h=0.1., x0=0, y0=v(x0) et, pour tout n>0, xn+1=xn+h, yn+1=yn+h*9.81(1-y²n/64), tout ça pour n compris entre 0 et 30...

[invite7a555b01]

Bon du coup j'ai tout compris.

Merci, merci c'est super sympa de m'avoir aider pour tout cet exercice.

Bonne continuation et bonne soirée.