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Un transformation complexe




  1. #1
    Antoinnnnne

    Un transformation complexe

    Bonjour j'ai un DM de maths, concernant un transformation complexe, à faire qui doit être partiellement fait sur Géoplan, mais je n'arrive pas à modeliser ce qui doit l'être.

    l'énoncé est le suivant :

    L’objectif de ce travail est d’étudier la fonction de C dans C définie par f (z) = z2 ,
    On nomme A et A’ les images de z et z2 dans le plan complexe, et F la transformation A!A’.
    Cette étude va porter sur les positions du point A’ lorsque le point A décrit une courbe donnée :
    cela s’appelle un "lieu géométrique".
    L’étude expérimentale consistera à observer et conjecturer certaines propriétés.
    L’étude théorique consistera à chercher une démonstration de ces propriétés.

    A - QUESTIONS PREPARATOIRES ( sur papier avant la séance )
    Soit z un nombre complexe non nul : z = x +i y.
    1. Démontrez qu’on a : Re(z0) = x2 − y2 et Im(z0) = 2x y
    2. a. Calculer les carrés des nombres complexes −2−i ; −1 ; i ; 1+2i
    b. Représentez dans un plan les images P, Q, R, S de ces nombres et les images P’, Q’, R’, S’ de leurs carrés.
    Quelles observations pouvez vous faire ?

    B - ETUDE EXPERIMENTALE ( sur ordinateur, avec compte rendu papier et impressions )
    Lancez l’application Geogebra.
    1. Construction de l’image d’un point
    a. Créez un point libre A.
    b. Quelles sont les coordonnées de A’ = F(A) ? Créez le point A’.
    2. Points invariants
    a. Chercher expérimentalement à faire coïncider A et A’.
    b. Quelle conjecture pouvez vous faire sur les points invariants de f ?3. Image d’une droite donnée
    a. – Créez les nombres a et b, en les fixant égaux à 1, puis la droite d’équation y = ax + b
    – Redéfinissez le point A comme point de cette droite.
    b. – Faites bouger A sur la droite, et observez comment varie la position de A’.
    – Créez le lieu de A’ lorsque A décrit la droite, et coloriez le.
    – Faites bouger A sur ce lieu, et retrouvez les résultats de la question A-2.
    c. Quelle conjecture pouvez vous faire sur l’image par F de la droite y = x +1 ?
    4. Image d’une droite quelconque
    a. – Dans le menu "Editer", choisissez "Propriétés", sélectionnez b, cochez "affichez l’objet", et "appliquer".
    Le logiciel crée un curseur sur la figure, avec lequel vous pouvez faire varier la valeur de b :
    pour cela, sélectionnez b, et utilisez la souris ou les flèches du clavier.
    b. – Faites varier b, et observez comment varie le lieu de A’. Observez en particulier ses intersections avec les axes.
    – Créez un curseur pour a, et faites le varier : le lieu ressemble-t-il à une courbe connue ?
    – Quelles conjectures pouvez vous formuler pour l’image par F de la droite y = ax+b, selon les valeurs de a et b ?
    Imprimez la feuille de travail et le protocole de construction, en ajoutant votre nom et prénom.
    BONUS : ( pour ceux à qui il reste un peu de temps ) reprendre ce travail avec la parabole y = (x −a)2 à la place de la droite ...

    C - ETUDE THEORIQUE ( sur papier : à rendre au prochain cours )
    1. Points invariants
    a. Résoudre l’équation équivalente à la condition z0 = z.
    b. Quel est l’ensemble des points invariants par F ?
    2. Image d’une droite donnée
    On pose x0 = Re(z0) et y0 = Im(z0). On suppose que A est un point de la droite y = x +1
    a. Exprimer x0 et y0 uniquement en fonction de l’abscisse x de A.
    b. Exprimer x en fonction de x0, et en déduire l’expression de y0 en fonction de x0.
    c. A quelle courbe correspond cette relation ? Est-ce que cela démontre votre conjecture du B-3 ?
    3. Images dune famille de droites parallèles
    Reprendre la méthode de la question précédente pour le cas des droites y = x + b, où b est un réel quelconque.
    Cela recoupe-t-il vos observations et vos conjectures du B-4 ?


    Pour le A j'ai tout fait, mais pour le B je n'arrive pas à créer les points sur Géoplan.

    Pouvez-vous m'aidez svp

    D'avance merci.

    Antoine

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    afolab

    Re : Un transformation complexe

    C'est Géoplan ou Geogebra parce que tu cites les deux.
    Je suppose que z0 c'est l'affixe de A.
    Dans 3b) 3éme tiret c'est "faites bouger A sur ce lieu et retrouver A-2" ou bien"faites bouger A' sur ce lieu et retrouver A-2"?

  4. #3
    Antoinnnnne

    Re : Un transformation complexe

    Il s'agit de géoplan (géogébra est le logiciel conseillé par le dm).
    Pour le 3ème tiret du b, c'est bien "faites bouger A sur ce lieu, et retrouvez les résultats de la question A-2".


  5. #4
    afolab

    Re : Un transformation complexe

    Pour B1)
    - Créer un point libre A dans le plan
    - Créer numérique, calculs géométriques, abscisse d'un point dans le plan x (abscisse de A)
    - on recommence avec y (ordonnée de A)
    - Créer point repéré dans le plan : abscisse x^2-y^2
    ordonnée: 2xy
    Nom: A'

    Quand tu auras fait çà, fait moi signe

  6. #5
    Antoinnnnne

    Re : Un transformation complexe

    Merci pour cette aide, j'ai fait ce que tu as dit mais maintenant je n'arrive pas vraiment à conjecturer.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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