Bonjour,
Je dois faire un DM pour cette rentrée, et je bloque
voici une partie :
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=sin²(x)+1, pour tout réel x.
1)a) Montrer que f est paire.
b)En utilisant une formule de trigonométrie, montrer que f(x)= (3-cos(2X))/2, montrer alors que f est pi périodique.
c) Montrer que pour tout réel x, on a f(x) appartenant a l'intervalle [1;2].
Je vous remercie pour votre aide.
f est paire si f(x) = f(-x)
Bonjour,
a) la définition d'une fonction paire est que f(-x) = f(x) ce qui ne devrait pas être trop dur à prouver (remplace x par -x dans f(x) et regarde ce que ça donne)
b) Connais-tu une formule donnant cos²(x) en fonction de cos(x) ? Et une autre reliant sin²(x) et cos²(x) ?
c) cos(x) est une fonction bornée. Utilise les inégalités des bornes.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
merci pour vos réponses je voudrais seulement savoir ce qu'est une fonction bornée?? Merci.
Une fonction f est bornée par a et b (a<b) sur un ensemble quelconque si a < f(x) < b quelquesoit x dans cet ensemble.
(les inégalités ne sont pas strictes)
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
La formule donnant cos²x en fonction de cos(x) est-elleEnvoyé par NicoEnac
cos²(x)=cos2(x)+sin²(x) ?
non il y a une petite coquille là. Il faut lire cos²(x) en fonction de cos(2x).
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Faut-il utiliser les formules de duplication?
Mille excuses tu peux utiliser cette formule :
sin²(x) = cos²(x) - cos(2x)
=> sin²(x) = (1-sin²(x)) - cos(2x)
=>.....
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Ce n'est pas grave, doit-on remplacer (1-sin²(x)) par (1-cos²(x)-cos(2x))?
ça fait ensuite 2sin²(x) = 1-cos(2x)
=> sin²(x) = (1-cos(2x))/2
=> 1+sin²(x) = (1-cos(2x))/2 +1 = (3-cos(2x))/2
=> f(x) = (3-cos(2x))/2
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Merci beaucoup !
Pour montrer que f est pi périodique, nous savons que les fonctions cosinus et sinus sont de période 2pi, mais j'ai du mal à continuer...
cos(x) est 2pi prériodique, qu'en est-il de cos(2x) ?
cos(x +2Pi) = cos(x)
cos( 2.(x+T) ) = cos(2x). Reste à trouver T
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Si l'on développe cos(2.(x+T)), cos(x+2T) donc T=pi ?
Bingo ! Même si quand on développe ça fait cos(2x + 2T)Mais la réponse est juste
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Pour la question c), on sait que la fonction cosinus est définie sur l'intervalle [0;2pi], donc 0<cos(x)<2pi mais ensuite je n'y arrive pas.
Attention ! Il ne faut pas confondre être définie et être bornée !
Une fonction f est définie sur un intervalle si on peut la calculer en tout point de cet intervalle.
Exemple : f(x)=1/x est définie sur ]-oo;0[U]0;+oo[ cela veut dire qu'on peut la "calculer" partout sauf en zéro.
Cos est définie pour tout x réel mais est bornée. Quelles sont ses bornes ?
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Les bornes de la fonction cosinus sont [0;2pi] ?
Non ! Cosinus prend ses valeurs entre -1 et 1. Ce sont donc ses bornes "optimales". ça donne quoi pour l'exo ?
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ça donne -1<cosx<1, donc 0<cosx<1 ?
Je ne comprends pas le "donc".
-1 < cos(x) < 1 donc -1 < cos(2x) < 1
=> ... < 3-cos(2x) < ...
=> ... < (3-cos(2x))/2 < ...
=> ... < f(x) < ...
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=>-4< 3-cos(2x) <-2
=>-2<3-cos(2x)/2<-1
=>-2<f(x)<-1
-1 < cos(2x) < 1
-1 < -cos(2x) < 1
=> 2 < 3-cos(2x) < 4 je ne comprends pas comment tu passes d'une inéquation à l'autre mais prends ton temps et fais étape par étape.
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Ah oui merci, en effet je me suis trompée, en fait j'ai soustrait 3 de chaque côté ! Donc à la fin on obtient 1<3-cos(2x)/2<2, c'est ça?
Oui c'est juste !
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