Limites tan et cos

[inviteb00cc81e]

Bonjour,

J'ai à étudier les 2 limites ci-dessous :
1) lim quand x --> 0 de (tan^2(x))/x^2
Mon raisonnement : utiliser le théorème des gendarmes, mais je ne sais pas du tout comment?

2) lim quand x --> +in de (cos(x))/(x^2+1)
Mon raisonnement :
Quel que soit x réel, -1<=cos x<=1; or : lim quand x -->+in de (x^2+1)=+in
Donc par quotient : lim quand x -->+in de (cos(x))/(x^2+1)=0
car lim quand x --> +in de -1/(x^2+1)=0
et lim quand x --> +in de 1/(x^2+1)=0
Puis-je raisonner ainsi?

Pour mes 2 questions, je vous remercie par avance de votre aide!

Merci par avance de votre aide!
Spiffou
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[Flyingsquirrel]

Salut,

1) lim quand x --> 0 de (tan^2(x))/x^2
Mon raisonnement : utiliser le théorème des gendarmes, mais je ne sais pas du tout comment?

Il faut trouver un bon majorant et un bon minorant de . Pour le minorant on peut utiliser le fait que pour tout réel positif on ait . Pour le majorant, je ne vois pas.

Pour trouver la valeur de la limite, je pense qu'il est plus simple d'écrire et de calculer .

2) lim quand x --> +in de (cos(x))/(x^2+1)
Mon raisonnement :
Quel que soit x réel, -1<=cos x<=1; or : lim quand x -->+in de (x^2+1)=+in
Donc par quotient : lim quand x -->+in de (cos(x))/(x^2+1)=0
car lim quand x --> +in de -1/(x^2+1)=0
et lim quand x --> +in de 1/(x^2+1)=0
Puis-je raisonner ainsi?

Oui mais ce serait quand même bien d'écrire les inégalités qui te permettent de conclure :

et de dire que tu utilises le théorème des gendarmes.

[inviteb00cc81e]

Bonjour,

merci pour ce retour.
Pour l'exercice 1, j'y vois plus clair! Mais, je pense que le majorant est indispensable à trouver. Personne n'a une idée s'il vous plaît??
Moi, je vois pas du tout car je trouve que tan est une fonction difficile. Peut être à écrire que tan x=sin x /cos x, je ne sais pas??

Pour l'exercice 2, je modifie donc ma conclusion.

Merci encore pour cette aide et en espérant qu'une dernière personne poura m'aider pour trouver le majorant de l'exo1.
Spiffou.

[inviteace2f602]

Hello,

Dans ton cours de Math, il existe des limites de fonction à connaitre par coeur:

limite en 0 de sinx/x et tanx/x =1

Il s'agit d'un résultat de la formule directe du nombre dérivé que tu peux redémontrer facilement:

f'(x0)=limite lorsque h tend vers 0 de (f(x0+h)-f(x0))/h
Dans ton cas x0=0
Fais le calcul en sachant que la dérivée de la tan est: 1/(cosx.cosx)

Ensuite tu appliques le théorème de composition de limites pour passer au carré:

limite en 0 tanx/x =1
limite en 1 de U^2=1

donc:limite en 0 (tanx/x)^2 =1


A+++++

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite890931c6]

C'est à dire poser et on obtient :



après s'être assuré que ;

cordialement.

[inviteace2f602]

Hello,

Attention dans son énoncé, il a bien spécifié: tan^2(x)/x^2
Donc le changement de variable est le suivant: X= tan(x)/x

ps: tan^2(x)/x^2 différent de: tan(x^2)/x^2

A+++

[invite890931c6]

oui tu a raison,

j'avais mal lu l'énoncé.

[inviteb00cc81e]

Bonjour,

Un grand merci à Karym77 et Vegetal pour m'avoir aider à finir l'exercice 1.
Le raisonnement à avoir est maintenant clair!

Spiffou.