Bonjour à tous,
j'ai un DM pour les vacances que je n'ai pas du tout compris...
Voila l'énoncé : αβ
Soit p un nombre premier.
On suppose qu'il existe 2 entiers naturels a0 et b0 tels que a0² = p x b0²
On pose p1α1p2α2....pnan et q1β1q2β2....qnβn les décompositions en facteurs premiers de a0 et b0.
1. Justifier que p est un pi (i є {1,2....n}).
2. Justifier alors que p est aussi un des qj (j є {1,2....m}).
3. En déduire qu'il existe 2 entiers naturels a1 et b1 tels que :
- a1² = p x b1²
- a1<a, b1<b
4. EN quoi le résultat ci dessus permet il d'affirmer que l'énoncé : "Il existe 2 entiers naturels a0 et b0 tels que a0² = p x b0²" est faux ?
5. En déduire que √p n'est jamais une fraction lorsque p est premier.
Aide : utiliser le procédé de descente infini.
Voila j'espère que vous pourrez me donner une piste, merci d'avance
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en produit de facteurs premiers.
