Résolution équation nombre complexe TS

[invite369a4dc4]

Salut à tous,

Résoudre cette équation z: z²-6z cos teta +9=0 ;je ne sais pas trop par ou commencer. J'ai remplacé les z par (r e^iteta) et cos par ((e^iteta+ e^-iteta)/2) mais je tombe sur des trucs bizarre.

Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Et si tu commençais tout simplement par calculer le discriminant de cette équation du second degré ?

[invite369a4dc4]

ok mais il nous demande de résoudre l'équation z a l'inconnu complexe; ce qui veut dire que l'inconnu doit être complexe ?
De plus il nous demande d'appeler les solutions z1 et z2, ce qui impliquerait qu'il y est 2 solutions. Le discriminant est égale à O, donc on a certes 2 solutions (z=3) mais confondus donc un peu bizarre.
La question suivante nous demande d'écrire les solutions sous forme exponentielle, impliquant que les solutions soient complexes (?).

Merci pour votre aide

[invite369a4dc4]

personne pour m'aider

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Le discriminant est égale à O

Le discriminant n'est pas nul...

[invite369a4dc4]

discriminant: b²-4ac

z: z²-6zcos teta +9=0

delta= (-6)² -4x1x9= 0

C'est bien 0 pourtant, nan ?

[invitea3eb043e]

Et le cosinus, il va où ?

[invite369a4dc4]

justement je ne sais pas comment l'utilisé; teta est un réel compris entre [o; 2 pi].

Merci pour votre aide

[invite57a1e779]

Tu l'utilises normalement : tu as une équation du second degré avec , , .

[invite3f7030d1]

Ba il est bel est bien dans le discriminant pourtant tu ne peut pas le retier comme ca
Delta=36cos²(teta)-36=36[cos²(teta)-1]
Or pour tout x: cos²(x)+sin²(x)=1
D'ou cos²(teta)-1=-sin²(teta).
Donc delta negatif
Delta=0 pour teta=0[pi] alors z=3cos(teta)

Peut etre que je me trompes

[invite369a4dc4]

il vaut combien exactement delta? Pas tout compris à partir de "Delta=0 pour teta=0[pi] alors z=3cos(teta)".

Merci pour votre aide.

[invitea3eb043e]

delta c'est -36 sin²(théta) donc dans l'équation donnant les racines, on prend un racine de delta qui vaut 6 i sin(théta)

[invite369a4dc4]

Donc j'applique la formule lorsque delta est négatif. j'obtiens deux solutions qui sont:

z1=[6cos (thêta) - iV(-36 sin² (théta))]/2
= 3cos (théta) - 6i sin (théta)

z2= 3cos (théta) + 6i sin (théta)

C'est bien ça?

Merci pour votre aide.

[invitea3eb043e]

Le second terme aussi doit être divisé par 2.

[invite1985114f]

Bonjour j'ai une équation dans C à résoudre :
((1+Z)/(1-Z))^3 + ((1-Z)/1+Z))^3 = 2
pouvez vous m'aider ?

[invitea3eb043e]

Si tu regardes bien, ton équation est de la forme u + 1/u = 2 où u est une combinaison des Z.
Commence par calculer u, ensuite tu te poseras la question de la racine cubique de u dans le corps des complexes.

[invite1985114f]

je viens de calculer U : u^2-2u+1=0
delta=0
donc les deux solutions sont confondues x1=x2=1
mais je ne voit pas ce que je peux faire après avec ça ...

[inviteec9de84d]

Si tu suis ce qu'a dit Jeanpaul, et ce que tu as trouvé :


donc il ne reste plus qu'à extraire les racines cubiques de 1 dans le corps des complexes pour trouver


et en déduire z.

[invite1985114f]

bonjour j'ai beau retourner ça dans dans tous les sens je n'arrive pas à trouver la réponse ...; (ça n'a rien a voir mais pourriez vous me donner la relation entre [ cos(pi/12) , sin(pi/12) ] et [ cos(7pi/12) , tan(11pi/12)]

[invitea3eb043e]

Il aurait mieux valu ouvrir un autre fil, ça n'a rien à voir, ou si peu !
Tu dois connaître la valeur de cos(pi/6) et la formule qui donne cos(2u) en fonction de cos(u). Si tu fais u=pi/12, ça donne une équation du 2ème degré qui permet de calculer cos²(pi/12) d'où on déduit cos(pi/12) et sin(pi/12)
Idem ensuite, comme 7 pi/12 = pi/2 + pi/12, on peut calculer les cos et sin de 7 pi/12.
Évidemment, ça va mieux quand on connaît ses formules !

[invite1985114f]

Si tu suis ce qu'a dit Jeanpaul, et ce que tu as trouvé :


donc il ne reste plus qu'à extraire les racines cubiques de 1 dans le corps des complexes pour trouver


et en déduire z.

je n'arrive pas à trouver la solution s (plutot je ne comprend pas comment la trouver ...) merci de vos réponse

[invitea3eb043e]

Est-il clair pour toi que le cube de (1+z)/(1-z) vaut 1 ? Donc ce nombre est une des racines cubiques de 1. Il y en a 3, traditionnellement appelées 1, j et j²
j est le nombre de module 1 et d'argument 2 pi/3 et j² a le même module et l'argument - 2 pi/3 ou bien 4 pi/3 si tu préfères.