J'ai répondu à toutes les questions de cet exercice sur les congruences mais les dernières me posent problème, celles de la partie D
Un est une suite définie par U0=14 et pour tout n appartenant à N, Un+1=5 Un-6
- Partie A:
On conjecture que les deux derniers chiffres de Un sont alternativement 14 ou 64 et que le PGCD de Un et Un+1 soit de 2
- Partie B:
On montre par récurrence que pour tout n, Un congru à 4 modulo 10.
- Partie C:
On montre que pour tout n; Un+2 congru à Un modulo 4
On en déduit que pour tout k appartenant à N, U2k congru à 2 modulo 4 et que U2k+1 congru à 0 modulo 4.
On montre que 2Un=5^(n+2) +3
et que pour tout p appartenant à N -{0;1}, 5^p congru 25 modulo 100
On en déduie que pour tout n; 2Un congru à 28 modulo 100
Ainsi on montre ensuite que si n pair alors n congru à 14 modulo 100 et si n impair, Un congru à 64 modulo 100
- Partie D (c'est ici que ça coince):
Montrer que pour tout entier n,dn=PGCD(Un;Un+1) divise 6. En déduire les valeurs possibles de dn.
Montrer que pour tout entier naturel n, Un est pair.
Montrer qie pour tout n; Un n'est pas divisible par 3
Conclure.
Pour cette partie : je sais que dn divise 5Un-Un+1 donc 6
donc d ={1;2;3;6} puis ensuite je ne sais pas quoi faire.
Je pensais dire que U2k congru à 2 modulo 4 et que U2k+1 congru à 0 modulo 4 mais je ne sais pas comment utiliser cela.
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est divisible par 2 puisque :
