Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer
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Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer



  1. #1
    invite767e7b2a

    Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer


    ------

    Bonjour à tous:

    Il s'agit d'un exercice que j'ai commencé mais sur lequel je bute probablement à cause d'une grossière erreur de calcul mais que je ne parviens pas à déceler.

    il me faut trouver le dvpt limité à l'ordre 3 en 1 de f(x)= x^(1+1/x)= exp((1+1/x)*ln(x))

    J'ai commencé quelques calculs mais n'arive pas au résultat demandé qui est f(x)= 1 + 2(x-1) - (1/2)(x-1)³ + ○((x-1)³)

    Voici ce que j'ai fait:

    J'ai posé Y= x-1 pour chercher le DL en 0 à l'ordre 3 de: exp((1+1/(Y+1))*ln(Y+1))

    Tout d'abord, le DL à l'ordre 3 de: 1+1/(Y+1) est: 2 - Y + Y² - Y³ + ○(Y³)

    Ensuite, le Dl à l'ordre 3 de: ln (1+Y) est: Y - Y²/2 + Y³/3 + ○(Y³)

    d'où le Dl à l'ordre 3 de: (1+1/(Y+1))*ln (1+Y) est :
    2Y - 2Y² + (13/6)Y³ + ○(Y³)

    Enfin le Dl à l'ordre 3 de: exp((1+1/(Y+1))*ln(Y+1)) est:
    1 + 2Y - (11/6)Y³ + ○(Y³)

    Ce qui m'amène à (en rétablissant le changement de variable):
    f(x)= 1 + 2(x-1) - (11/6)(x-1)³ + ○((x-1)³)

    alors que le bon résultat est:
    f(x)= 1 + 2(x-1) - (1/2) (x-1)³ + ○((x-1)³)

    Si vous avez des pistes; merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer

    Salut,

    Je ne suis plus d'accord à partir du moment où tu fais le DL de l'exponentielle du produit.



    et on retrouve le résultat voulu.

  3. #3
    invitebfbf094d

    Re : Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer

    J'ai trouvé le bon résultat. Mais j'ai décomposé comme ceci : pour simplifier mes calculs.

    Poser ensuite comme tu l'as fait : y = x -1. On a alors .

    Le DL de ln(1+y) à l'ordre 3 n'est pas difficile. Avec ca, j'ai diviser par (1+y) et j'obtiens : . Je ne met pas les o(x-1) pour simplifier l'écriture en Latex ...

    Je regroupe après mes deux DL :

    .

    Poser ensuite u = 2y-2y²+(13/6)y^3. Le DL de e^u est connu. Après ce n'est que du calcul un peu long par moment. Mais cela se simplifie en gardant en tete que tu ne gardes pas les termes d'ordre supérieur à 3, ce qui te permet de pas les écrire si tu vois que ca mène à un ordre > 3. J'ai finalement trouvé le bon résultat dont tu donnes.

  4. #4
    invite767e7b2a

    Re : Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer

    En fait j'avais oublié d'appliquer l'exp au terme de degré 3 ce qui fait qu'il me manquait 8/6(Y^3). Merci de l'aide.

  5. A voir en vidéo sur Futura

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