Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 4 sur 4

Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer



  1. #1
    maseru

    Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer


    ------

    Bonjour à tous:

    Il s'agit d'un exercice que j'ai commencé mais sur lequel je bute probablement à cause d'une grossière erreur de calcul mais que je ne parviens pas à déceler.

    il me faut trouver le dvpt limité à l'ordre 3 en 1 de f(x)= x^(1+1/x)= exp((1+1/x)*ln(x))

    J'ai commencé quelques calculs mais n'arive pas au résultat demandé qui est f(x)= 1 + 2(x-1) - (1/2)(x-1)³ + ○((x-1)³)

    Voici ce que j'ai fait:

    J'ai posé Y= x-1 pour chercher le DL en 0 à l'ordre 3 de: exp((1+1/(Y+1))*ln(Y+1))

    Tout d'abord, le DL à l'ordre 3 de: 1+1/(Y+1) est: 2 - Y + Y² - Y³ + ○(Y³)

    Ensuite, le Dl à l'ordre 3 de: ln (1+Y) est: Y - Y²/2 + Y³/3 + ○(Y³)

    d'où le Dl à l'ordre 3 de: (1+1/(Y+1))*ln (1+Y) est :
    2Y - 2Y² + (13/6)Y³ + ○(Y³)

    Enfin le Dl à l'ordre 3 de: exp((1+1/(Y+1))*ln(Y+1)) est:
    1 + 2Y - (11/6)Y³ + ○(Y³)

    Ce qui m'amène à (en rétablissant le changement de variable):
    f(x)= 1 + 2(x-1) - (11/6)(x-1)³ + ○((x-1)³)

    alors que le bon résultat est:
    f(x)= 1 + 2(x-1) - (1/2) (x-1)³ + ○((x-1)³)

    Si vous avez des pistes; merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer

    Salut,

    Je ne suis plus d'accord à partir du moment où tu fais le DL de l'exponentielle du produit.



    et on retrouve le résultat voulu.

  3. #3
    zapple

    Re : Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer

    J'ai trouvé le bon résultat. Mais j'ai décomposé comme ceci : pour simplifier mes calculs.

    Poser ensuite comme tu l'as fait : y = x -1. On a alors .

    Le DL de ln(1+y) à l'ordre 3 n'est pas difficile. Avec ca, j'ai diviser par (1+y) et j'obtiens : . Je ne met pas les o(x-1) pour simplifier l'écriture en Latex ...

    Je regroupe après mes deux DL :

    .

    Poser ensuite u = 2y-2y²+(13/6)y^3. Le DL de e^u est connu. Après ce n'est que du calcul un peu long par moment. Mais cela se simplifie en gardant en tete que tu ne gardes pas les termes d'ordre supérieur à 3, ce qui te permet de pas les écrire si tu vois que ca mène à un ordre > 3. J'ai finalement trouvé le bon résultat dont tu donnes.

  4. #4
    maseru

    Re : Développements limités: exercice commencé mais que je n'arrive pas à terminer

    En fait j'avais oublié d'appliquer l'exp au terme de degré 3 ce qui fait qu'il me manquait 8/6(Y^3). Merci de l'aide.

  5. A voir en vidéo sur Futura

Discussions similaires

  1. Développements limités
    Par Nicolas666666 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 08/02/2007, 22h48
  2. Développements limités
    Par tit' nini dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 09/12/2006, 19h05
  3. exercice que je n'arrive pas a résoudre
    Par matlechat dans le forum Physique
    Réponses: 4
    Dernier message: 24/11/2006, 20h10
  4. Bonjour, j'ai commencé un plan pour une synthèse mais je ne trouve pas d'autres idées
    Par stefouille31 dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 3
    Dernier message: 01/02/2006, 19h20
  5. Developpements LimitÉs
    Par christophe_de_Berlin dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 20/01/2006, 13h11