Logarithmes
Bonsoir, je suis un peu en difficulté sur un exercice, si vous pouviez m'aider un peu...
Soit f définie par f(x) = ln[ln(x)]. D est son ensemble de définition.
a) Je devais trouver D, c'est ok. D=]0,+oo[
b)Trouver la dérivée, c'est aussi ok. f' = 1/[xln(x)]
c) C'est là où ça se gâte... Je dois justifier si il est vrai que pour quelque soit x>e, f(x)>(x-e)/e
Voili, voiloù.
Si quelqu'un avait une petite idée... Merci !
Monseigneur B.
L'ensemble de définition est le domaine de x où la fonction est définie.Envoyé par MonseigneurB
il faut donc que ln(x) soit > que 0,
donc que x soit > que (à toi de compléter).
Contre exemple : si x vaut 0,5 alors ln(x) est < 0, et ln(ln(x)) n'est pas défini !
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Ah,oui effectivement, je n'avais pas fait attention à ce détail, merci !
Donc, D=]1,+oo[ ?
Pas une petite idée pour la question c) ?
Une idée : Que trouves-tu pour la tangente en e à la fonction ?
Pour la tangente au point e, je trouve y=(x-e)/e. Mais je ne vois pas que faire de cela...
Dois-je prouver que la courbe est toujours au dessus de sa tangente, et calculer la différence de f(x)-[(x-e)/e] ?
Ce peut être une solution
Par lecture graphique, je viens de voir que la courbe représentative de f(x) est au dessous de sa tangente. Je devrais donc trouver que [(e-x)/e]-f(x) est positif ? Mais je ne vois pas comment trouver le signe de la différence... =/
Connais-tu la dérivée seconde et son utilité ?
Sinon, sans pour autant passer par la notion de dérivée seconde, peux-tu me donner de visu la variation de la dérivée f ' sur?
Que représente graphiquement la dérivée pour la courbe ?
Avec ces deux remarques tu peux t'en sortir, je pense...
EDIT : c'est vrai que comme ça la différence n'est pas simple à étudier. On pourrait transformer le second terme en ln mais cela fait apparaître une exponentielle...
Sinon tu peux torcher ton exo, avec la dérivé seconde et la concavité de la fonction ln, mais je ne pense pas que ce soit au programme de Terminale.
Non, je ne vais pas pouvoir le "torcher", car je n'ai pas fait les dérivées secondes et la concavité...
La dérivée de la fonction est me semble t-il f'(x)=1/[xln(x)].
Sur ]1,+oo[ ln(x)>0, x>0, donc, xln(x)>0 et donc 1/[xln(x)]>0.
Donc la dérivée est positive, et la fonction f est croissante...
Pour ce qui est de la dérivée, elle représente les variations de la fonction f en fonction de l'évolution de x.
Mais même avec cela, je ne vois toujours pas...
le signe de la déricvée te donne bien la variation de f, on est d'accord.
On trouve f croissante. OK.
Maintenant, ce n'est pas ce que je t'ai demandé
Je t'ai demandé la variation (et non le signe) de f '.
Si tu trouves sa variation, tu devrais trouver quelquechose d'intéressant pour les tangentes (notamment leur pente, il y a un lien avec la dérivée, si si !) à la courbe...
Je ne vois que cette méthode là... Peut-être y a-t-il plus simple ?
Ah, je pense voir... C'est la fait que la dérivée soit égal au coefficient directeur de la tangente ?
Bon, je me mets de suite à trouver les variations de f'. (Il faudra donc passer par la dérivée seconde ?)
je pense que
Étudies la fonction
tu trouveras qu'elle est toujours décroissante (?) sur
ça doit suffire pour démontrer ce qu'il y a à démonter.
Me revoilà !
Je trouve donc que f''(x) = -[ln(x)+1]/[(xln(x))²].
Sur ]1;+oo[, -[ln(x)+1] < 0 et le dénominateur est > 0.
Donc, f'' est négative sur ]1;+oo[.
Soit, f' décroissante.
En est-il bien cela ?
Que puis-je faire ensuite de mes variations ?
Oui, j'ai bien voulu commencer par cela, mais je me heurte au problème de calculer g(x) = f(x) - (x-e)/e...je pense que
Étudies la fonction
tu trouveras qu'elle est toujours décroissante (?) sur
ça doit suffire pour démontrer ce qu'il y a à démonter.
Pas très évident à calculer... =/
la seule difficulté que je vois c'est pour trouver la limite en
Cela montre que la courbe a une pente qui diminue et qui s'éloigne de plus en plus de la tangente en e...Me revoilà !
Je trouve donc que f''(x) = -[ln(x)+1]/[(xln(x))²].
Sur ]1;+oo[, -[ln(x)+1] < 0 et le dénominateur est > 0.
Donc, f'' est négative sur ]1;+oo[.
Soit, f' décroissante.
En est-il bien cela ?
Que puis-je faire ensuite de mes variations ?
D'un seul coup je me rends compte que je vais t'embrouiller...
Mais oui c'est bien sûr !je pense que
Étudies la fonction
tu trouveras qu'elle est toujours décroissante (?) sur
ça doit suffire pour démontrer ce qu'il y a à démonter.
VegeTal est encore là pour sauver les autres des méandres des mathématiques.
MonseigneurB, lis attentivement les étapes que te propose VegeTal et tu verras la réponses en 4 lignes sans truander ou imaginer des "trucs tordus".
Encore désolé pour la piste tortueuse que je t'ai proposée.
Bonne continuation.
Cordialement,
Duke.
Je vois, je vois... (Et oui, c'est tordu les mathématiques !)
Je pense avoir compris.
Donc, si je ne m'abuse, je devrais trouver que la limite en +oo est de -oo.
Je pense que je ferai ce petit calcul demain, car je tombe de sommeil...
Je vous ferai part de mes résultats demain !
Bonne soirée (nuit ?) et encore merci pour tout !
Mathématiquement,
Monseigneur B.
Bonjour.
Je récapitule les étapes de la réflexion de VegeTal :
- Tu poses
- Tu détermines
- Tu montres que cette dérivée est négative sur cet intervalle (*);
- Tu déduis que g est décroissante;
- Tu calcules g(e) et tu conclus. La limite en
(*)
f ' est décroissante sur le domaine d'étude car produit de 1/x (qui est décroissante) et de 1/ln(x) (qui est décroissante car ln est croissante).
Exprime g'(x) en fonction de f '(x) et une valeur particulière de f '(x) et à l'aide de la décroissance de f ', la réponse est immédiate
Duke
Effectivement la limite en.
Tu as remarqué aussiEffectivement la limite en
Ouf !
