Logarithmes
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 22 sur 22

Logarithmes



  1. #1
    invite93011c7c

    Arrow Logarithmes


    ------

    Bonsoir, je suis un peu en difficulté sur un exercice, si vous pouviez m'aider un peu...

    Soit f définie par f(x) = ln[ln(x)]. D est son ensemble de définition.

    a) Je devais trouver D, c'est ok. D=]0,+oo[
    b)Trouver la dérivée, c'est aussi ok. f' = 1/[xln(x)]
    c) C'est là où ça se gâte... Je dois justifier si il est vrai que pour quelque soit x>e, f(x)>(x-e)/e

    Voili, voiloù.

    Si quelqu'un avait une petite idée... Merci !

    Monseigneur B.

    -----

  2. #2
    danyvio

    Re : Logarithmes

    Citation Envoyé par MonseigneurB Voir le message
    Soit f définie par f(x) = ln[ln(x)]. D est son ensemble de définition.

    a) Je devais trouver D, c'est ok. D=]0,+oo[
    L'ensemble de définition est le domaine de x où la fonction est définie.
    il faut donc que ln(x) soit > que 0,
    donc que x soit > que (à toi de compléter).
    Contre exemple : si x vaut 0,5 alors ln(x) est < 0, et ln(ln(x)) n'est pas défini !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  3. #3
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Ah,oui effectivement, je n'avais pas fait attention à ce détail, merci !
    Donc, D=]1,+oo[ ?

    Pas une petite idée pour la question c) ?

  4. #4
    Duke Alchemist

    Re : Logarithmes

    Une idée : Que trouves-tu pour la tangente en e à la fonction ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Pour la tangente au point e, je trouve y=(x-e)/e. Mais je ne vois pas que faire de cela...

  7. #6
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Dois-je prouver que la courbe est toujours au dessus de sa tangente, et calculer la différence de f(x)-[(x-e)/e] ?

  8. #7
    Duke Alchemist

    Re : Logarithmes

    Citation Envoyé par MonseigneurB Voir le message
    Dois-je prouver que la courbe est toujours au dessus de sa tangente, et calculer la différence de f(x)-[(x-e)/e] ?
    Ce peut être une solution

  9. #8
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Par lecture graphique, je viens de voir que la courbe représentative de f(x) est au dessous de sa tangente. Je devrais donc trouver que [(e-x)/e]-f(x) est positif ? Mais je ne vois pas comment trouver le signe de la différence... =/

  10. #9
    Duke Alchemist

    Re : Logarithmes

    Connais-tu la dérivée seconde et son utilité ?

    Sinon, sans pour autant passer par la notion de dérivée seconde, peux-tu me donner de visu la variation de la dérivée f ' sur ?
    Que représente graphiquement la dérivée pour la courbe ?

    Avec ces deux remarques tu peux t'en sortir, je pense...

    EDIT : c'est vrai que comme ça la différence n'est pas simple à étudier. On pourrait transformer le second terme en ln mais cela fait apparaître une exponentielle...

  11. #10
    VegeTal

    Re : Logarithmes

    Sinon tu peux torcher ton exo, avec la dérivé seconde et la concavité de la fonction ln, mais je ne pense pas que ce soit au programme de Terminale.

  12. #11
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Non, je ne vais pas pouvoir le "torcher", car je n'ai pas fait les dérivées secondes et la concavité...

    La dérivée de la fonction est me semble t-il f'(x)=1/[xln(x)].
    Sur ]1,+oo[ ln(x)>0, x>0, donc, xln(x)>0 et donc 1/[xln(x)]>0.
    Donc la dérivée est positive, et la fonction f est croissante...
    Pour ce qui est de la dérivée, elle représente les variations de la fonction f en fonction de l'évolution de x.

    Mais même avec cela, je ne vois toujours pas...

  13. #12
    Duke Alchemist

    Re : Logarithmes

    le signe de la déricvée te donne bien la variation de f, on est d'accord.
    On trouve f croissante. OK.

    Maintenant, ce n'est pas ce que je t'ai demandé
    Je t'ai demandé la variation (et non le signe) de f '.
    Si tu trouves sa variation, tu devrais trouver quelquechose d'intéressant pour les tangentes (notamment leur pente, il y a un lien avec la dérivée, si si !) à la courbe...

    Je ne vois que cette méthode là... Peut-être y a-t-il plus simple ?

  14. #13
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Ah, je pense voir... C'est la fait que la dérivée soit égal au coefficient directeur de la tangente ?

    Bon, je me mets de suite à trouver les variations de f'. (Il faudra donc passer par la dérivée seconde ?)

  15. #14
    VegeTal

    Re : Logarithmes

    je pense que

    Étudies la fonction

    tu trouveras qu'elle est toujours décroissante (?) sur et après tu calcule et

    ça doit suffire pour démontrer ce qu'il y a à démonter.

  16. #15
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Me revoilà !

    Je trouve donc que f''(x) = -[ln(x)+1]/[(xln(x))²].
    Sur ]1;+oo[, -[ln(x)+1] < 0 et le dénominateur est > 0.
    Donc, f'' est négative sur ]1;+oo[.
    Soit, f' décroissante.

    En est-il bien cela ?

    Que puis-je faire ensuite de mes variations ?

  17. #16
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    je pense que

    Étudies la fonction

    tu trouveras qu'elle est toujours décroissante (?) sur et après tu calcule et

    ça doit suffire pour démontrer ce qu'il y a à démonter.
    Oui, j'ai bien voulu commencer par cela, mais je me heurte au problème de calculer g(x) = f(x) - (x-e)/e...
    Pas très évident à calculer... =/

  18. #17
    VegeTal

    Re : Logarithmes

    si tu montres que est monotone et que alors tu peux conclure que sur donc que



    la seule difficulté que je vois c'est pour trouver la limite en .

  19. #18
    Duke Alchemist

    Re : Logarithmes

    Citation Envoyé par MonseigneurB Voir le message
    Me revoilà !

    Je trouve donc que f''(x) = -[ln(x)+1]/[(xln(x))²].
    Sur ]1;+oo[, -[ln(x)+1] < 0 et le dénominateur est > 0.
    Donc, f'' est négative sur ]1;+oo[.
    Soit, f' décroissante.

    En est-il bien cela ?

    Que puis-je faire ensuite de mes variations ?
    Cela montre que la courbe a une pente qui diminue et qui s'éloigne de plus en plus de la tangente en e...
    D'un seul coup je me rends compte que je vais t'embrouiller...

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    je pense que

    Étudies la fonction

    tu trouveras qu'elle est toujours décroissante (?) sur et après tu calcule et

    ça doit suffire pour démontrer ce qu'il y a à démonter.
    Mais oui c'est bien sûr !
    VegeTal est encore là pour sauver les autres des méandres des mathématiques.

    MonseigneurB, lis attentivement les étapes que te propose VegeTal et tu verras la réponses en 4 lignes sans truander ou imaginer des "trucs tordus".

    Encore désolé pour la piste tortueuse que je t'ai proposée.

    Bonne continuation.

    Cordialement,
    Duke.

  20. #19
    invite93011c7c

    Re : Logarithmes

    Je vois, je vois... (Et oui, c'est tordu les mathématiques ! )
    Je pense avoir compris.
    Donc, si je ne m'abuse, je devrais trouver que la limite en +oo est de -oo.

    Je pense que je ferai ce petit calcul demain, car je tombe de sommeil...

    Je vous ferai part de mes résultats demain !

    Bonne soirée (nuit ?) et encore merci pour tout !

    Mathématiquement,

    Monseigneur B.

  21. #20
    Duke Alchemist

    Re : Logarithmes

    Bonjour.

    Je récapitule les étapes de la réflexion de VegeTal :
    • Tu poses ;
    • Tu détermines (avec la question précédente, cela ne pose pas de problème);
    • Tu montres que cette dérivée est négative sur cet intervalle (*);
    • Tu déduis que g est décroissante;
    • Tu calcules g(e) et tu conclus. La limite en n'a pas d'intérêt d'après ce qui précède et la valeur trouvée pour g(e)

    (*)
    f ' est décroissante sur le domaine d'étude car produit de 1/x (qui est décroissante) et de 1/ln(x) (qui est décroissante car ln est croissante).

    Exprime g'(x) en fonction de f '(x) et une valeur particulière de f '(x) et à l'aide de la décroissance de f ', la réponse est immédiate


    Duke

  22. #21
    VegeTal

    Re : Logarithmes

    Effectivement la limite en n'est pas nécessaire et heureusement .

  23. #22
    Duke Alchemist

    Re : Logarithmes

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    Effectivement la limite en n'est pas nécessaire et heureusement .
    Tu as remarqué aussi
    Ouf !

Discussions similaires

  1. Logarithmes et limites
    Par invite93011c7c dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 6
    Dernier message: 13/11/2008, 20h09
  2. Logarithmes
    Par inviteba9bce0d dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 66
    Dernier message: 12/07/2007, 21h19
  3. Logarithmes TS
    Par invite8965dcb5 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 14
    Dernier message: 12/04/2007, 23h52
  4. logarithmes
    Par invitefb6fd981 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 6
    Dernier message: 27/01/2007, 16h23
  5. Logarithmes
    Par curioso dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 08/03/2006, 20h44