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DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration



  1. #1
    missbells

    DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration


    ------

    Bonsoir !

    J'ai un DM pour demain, et après des heures de recherche, je viens chercher un peu d'aide ici parce que je n'y arrive vraiment pas.

    Voici l'énoncé : On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = (xex)/(ex-1) et f(0)=1

    1/Démontrer que f est continue en 0

    2/ Démontrer que pour tout réel x, on a ex>x+1 et que l'égalité n'a lieu que pour x=0

    J'ai essayé de démontrer la continuité, or, pour le démontrer, il faut, si j'ai bien compris, que la limite en 0 soit égale à f(0) or quand je cherche les limites en 0, je trouve 0 et non 1, or f(0)=1...

    Pour le 2/, je ne vois pas comment faire, il faut que je passe par la forme ex-x-1>0 apparamment, mais je ne vois pas comment le démontrer. Cette question est très important car elle va me servir dans la suite du DM

    Merci d'avance pour votre aide =)

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Arkangelsk

    Re : DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration

    Bonsoir !

    Quelques indications :

    Pour le 1/, la fonction est bien continue en 0. Tu as une forme indéterminée dont il faut s'affranchir... J'essaie de trouver une méthode adaptée à ton niveau.

    Pour le 2/, tu peux par exemple étudier les variations de la fonction définie sur et telle que .

  4. #3
    missbells

    Re : DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration

    Merci pour la 2/ ! je crois avoir trouvé =)
    J'ai donc étudié comme une fonction exp(x)-x-1, sa dérivée est donc exp(x)-1, le signe de cette dérivée est positif pour x plus grand que 0 et négatif pour x inférieur à 0, elle est donc décroisasnte pour x plus petit que 0 et croissante pour x positif. f(0) vaut 0, donc exp (x) - x - 1 toujours positif donc exp (x) toujours plus grand que x+1, c'est bien ça ?

  5. #4
    Arkangelsk

    Re : DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration

    Bon, pour le 1/, tu peux poser soit .

    Donc, .

    Tu obtiendras un taux d'accroissement dont il faudra déterminer la limite quand tend vers .

    EDIT :

    Merci pour la 2/ ! je crois avoir trouvé =)
    J'ai donc étudié comme une fonction exp(x)-x-1, sa dérivée est donc exp(x)-1, le signe de cette dérivée est positif pour x plus grand que 0 et négatif pour x inférieur à 0, elle est donc décroisasnte pour x plus petit que 0 et croissante pour x positif. f(0) vaut 0, donc exp (x) - x - 1 toujours positif donc exp (x) toujours plus grand que x+1, c'est bien ça ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    missbells

    Re : DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration

    Euh, je me trompe peut-être, masi il me semble qu'on a pas (encore) fait les taux d'acroissements, parce que je vois pas à quoi ca correspond. Du coup je peux pas avancer le 1/ ...

  8. #6
    VegeTal

    Re : DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration

    Moi ce que je te propose c'est de multiplier par puis de remarquer qu'on a :

    (en arrangeant un peu...)

    de là tu en déduis la limite en 0...

  9. Publicité
  10. #7
    Arkangelsk

    Re : DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration

    Bonjour,

    Citation Envoyé par missbells Voir le message
    Euh, je me trompe peut-être, masi il me semble qu'on a pas (encore) fait les taux d'acroissements, parce que je vois pas à quoi ca correspond. Du coup je peux pas avancer le 1/ ...
    Tu as certainement vu le taux d'accroissement, par exemple pour la définition du nombre dérivé.

    Le taux d'accroissement est la fonction telle que :



    Si la fonction est dérivable en , le nombre dérivé est égal à la limite de quand tend vers .

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