Continuité, démonstration

[invite787dfb08]

Plop

J'ai un problème avec une partie d'un exo :

Montrer que est continue en x0 pour tout x0 de R-{-3}.

J'utilise la définition : f est continue en x0 si :


On a
Ensuite remarquant : on peut réinjecter et obtenir :


***
Ensuite, on prend
***

et on montre alors que avec

Je ne suis pas convaincu du passage que j'ai laissé entre les étoiles (***).
Peut on comme ça majorer |x-x0| une nouvelle fois ???

Merci de vos éclaircissement.

+++



EDIT : le but de l'exo est bien d'utiliser la définition, sans passer bien sur par le fait que la fonction est dérivable sur R\-3
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[invitebb921944]

Bonjour,
Avec ton raisonnement, il aurait été plus simple de prendre :
.
Le problème c'est que doit être indépendant de x.

[invitebb921944]

J'ai omis les valeurs absolues dans le ...

[invite787dfb08]

***
Ensuite, on prend
***

et on montre alors que avec

Je ne suis pas convaincu du passage que j'ai laissé entre les étoiles (***).
Peut on comme ça majorer |x-x0| une nouvelle fois ???

Merci de vos éclaircissement.

+++



EDIT : le but de l'exo est bien d'utiliser la définition, sans passer bien sur par le fait que la fonction est dérivable sur R\-3

Autant pour moi, j'ai fait une faute de frappe :

Il fallait lire :
et on montre alors que avec
et mon alpha est bien indépendant de x

Mon problème est que l'on majore deux fois |x-x0| par deux constatne différentes, et ensuite on affirme que alpha = le plus petit des deux ? Rien d'abusif ????

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

En fait je crois que tu as majoré indépendamment de x mais que tu t'es gourré dans l'expression de non ?

[invite787dfb08]

non il ne me semble pas

Je majore une fois |x-x0|, ce qui me permet de remplacer et de majorer |f(x)-f(x0)|.

Ceci étant fait je majore à nouveau |x-x0| par k epsilon avec k bien choisit pour que en réinjectant j'obtienne |f(x)-f(x0)| < epsilon, comme dans la définition de la convergence, pour |x-x0|< à un alpha qui par consécent est la plus petite des deux majorations précédentes...

C'est bon ?

[invitebfd92313]

Pourquoi ne pas utiliser directement les théorèmes d'opérations sur les fonctions continues ?

[invite787dfb08]

Parce que ce n'est pas le but de l'exo...

C'est pour me familiariser avec la définition de la continuité, et savoir la manipuler...

[invitebfd92313]

Dans ce cas tu devrais essayer des exos plus théoriques qui font intervenir cette définition, des exemples pratiques de ce type ne seront jamais traités par cette méthode.
Tu peux par exemple démontrer le critère séquentiel de la continuité d'une fonction.

[Flyingsquirrel]

Salut

Ensuite remarquant :

L'implication qui t'intéresse pour la suite est mais elle est fausse : si l'on prend et cela donne ...

Pour montrer que est continue sur son ensemble de définition je montrerais plutôt qu'elle est continue sur tout intervalle de la forme pour . Une fois que ce résultat est établi on peut directement en déduire la continuité de sur et il ne reste plus qu'à généraliser à .

[invitec317278e]

on peut réinjecter et obtenir :


***
Ensuite, on prend
***

Sauf que vu que au vu de l'équivalence qui précède ce que je quote, tu n'as pas


mais, je crois :


quant à la ligne suivante, je ne comprends pas sa signification...est-ce que le "on prend" signifie qu'on utilise cette inégalité qu'on sait vraie, ou alors qu'on choisit x telle qu'elle soit vraie ?

[invite787dfb08]

Oui c'est bien une inégalité, autant pour moi...

Et le on prend signifie bien qu'on choisit le x de sorte à majorer comme on veut, et je me demande si l'abus n'est pas la...