On considère la fonction f définie sur R par f(x)= exp(x)-1/x(exp(x))+1
Partie A
1) Soit h la fonction définie sur R par h(x)=x(exp(x))
Étudier le sens de variation de h et démontrer que h(x)>0 pour tout x appartenant a R
2)Soit g la fonction définie sur R par g(x)=x+2-exp(x)
a) Déterminer les limites de g en -inf et +inf
b) Étudier le sens de variation de g et dresser le tableau des variation de g
c) Montrer que l'équation g(x)=0 admet deux solution dans R
On note a et b ces solutions, avec a>b. Prouvez que 1.14<a<1.15
d)En déduire le signe de g(x) suivant les valeur de x
Partie B
1) Déterminer les limites de f en -inf et en +inf. Interpréter graphiquement les résultats.
2)a) Monter que pour tout x appartenant a R, f'(x)=exp(x)g(x)/(x(exp(x)+1)²
b) En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser le tableau des variations de f
3)a) Établir que f(a)=1/a+1
b) En utilisant l'encadrement de a établi dans la question A)2), déterminer un encadrement de f(a) d'amplitude 10^-2
4)Déterminer' une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au pt d'abscisse 0
5)a) Établir que pour tout x appartenant a R
f(x)-x=(x+1)u(x)/x(exp(x)+1 avec u(x)=exp(x)-x(exp(x))-1
b) Étudier le sens de variation de la fonction u
En déduire le signe de u(x)
c) Déduire des questions précédentes la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T)
Merci d'avance
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(tu peux mettre e^x en facteur).