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Dl complexes



  1. #1
    No man's land

    Dl complexes


    ------

    J'ai un DL à rndre lundi et je bloque sur cette question donc si vous pouvez me donner une piste j'en serais reconnaissante.
    Ex: a et b deux nombres complexes tels que : le module de a et de b est égal à 1
    Ecq f(x)=mod(x-a)+mod(x-b) a une valeur maximale ou minimale? (x dans R)

    -----

  2. #2
    FonKy-

    Re : Sos DL COMPLEXES

    La fonction est continue, la limite en + et - l'infini est + l'infini, donc ta fonction admet seulement un minimum. (car t'as évidement des valeurs qui existent, et donc t'as donc un minium parmi ces valeurs)

  3. #3
    No man's land

    Re : Sos DL COMPLEXES

    Y aurait-il une manière pour rédiger cette réponse? sinon on a pas utilisé les données mod de a et de b égal à 1

  4. #4
    tuan

    Re : Sos DL COMPLEXES

    a = a1 +ia2 avec a12+a22 =1
    b = b1 +ib2 avec b12+b22 =1
    x-a = x-a1 +ia2 -> mod(x-a) = sqrt( x2 –2a1x +1). Même chose pour x-b
    f(t) = somme des deux racines carrées, donc tjrs > 0
    min f(t) = q.chose (étudier le signe des x2 –2a1x +1 et x2 –2b1x +1)
    max f(t) = +infinie
    Dernière modification par tuan ; 14/12/2008 à 23h47.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    tuan

    Re : Sos DL COMPLEXES

    (... suite)
    Essayons de trouver les zéros de x2 –2a1x +1 (parabole avec un minimum)
    rho' = a12 –1 = -a22 <0 -> pas de zéro
    Trouvons maintenant son minimum… (dérivée...)
    2x-2a1=0 -> xmin=a1 -> minimum=a22
    Même chose pour l'autre...
    Donc min f(t) = a2 +b2

  7. #6
    tuan

    Re : Sos DL COMPLEXES

    rectification
    plus exactement
    min f(t) = |a2| +|b2|
    a2 et b2 pouvant être négatifs.

  8. #7
    No man's land

    Re : Sos DL COMPLEXES

    Trouvons maintenant son minimum… (dérivée...)
    2x-2a1=0 -> xmin=a1 -> minimum=a22
    Même chose pour l'autre...
    Donc min f(t) = a2 +b2

    Navrée j'ai pas compris cette partie
    Merci de répondre le plus tot possiiiiible

  9. #8
    tuan

    Re : Sos DL COMPLEXES

    salut
    Le trinôme sous radical doit être positif ou nul pour que la racine carrée puisse exister.
    Le coefficient du terme en x2 étant positif, le signe du trinôme doit être de ce genre (cfr. étude du signe d'un trinôme degré 2)
    +infini + 0 - 0 + + infini , s'il y a 2 zéros ou
    +infini + minimum(>0) + +infini , s'il n'y a pas de zéro
    le minimum est là où la dérivée du trinôme est nulle

    PS: désolé, la nuit... je dors quand même

  10. #9
    No man's land

    Re : Sos DL COMPLEXES

    Mince! j'ai tjs pas compris
    2x-2a1=0 -> xmin=a1 -> minimum=a22
    quand la dérivée sannule en c, celui-ci n'est pas forcément une valeur minimale
    xmin=a1 -> minimum=a22
    si xmin=a1 pourquoi le minimum serait-il a22??
    Bien que navrée d'avoir abusé de ta gentillesse, j'espère avoir une réponse.
    Je vous en serais reconnaissante

  11. #10
    tuan

    Re : Sos DL COMPLEXES

    'Faut lire attentivement une réponse !
    Je répète:
    Dans un trinôme de 2e degré, si le terme en x2 est positif (coefficient positif) on a une paraBOLe avec un minimum, s'il est négatif on aura un maximum (bol retourné !)
    Et relis ma réponse précédente…en effectuant les calculs nécessaires.

  12. #11
    No man's land

    Re : Sos DL COMPLEXES

    C'est bon j'ai compris
    Seul bémol, quand on étudie de x^2–2a1x +1 le minimum est a2 en valeur absolue
    pour x^2-2b1x+1 le minimum et b2 en valeur absolue
    Donc on peut pas dire que la valeur minimale est f(t)=a2+b2 ( a2 et b2 en valeur absolue) le t qu'on a employé pour avoir le a2 n'est pas le même que le b2.
    Autrement dit :
    Si on a f(x)=g(x)+h(x)
    si y est un minimun de g cad g(a)=y
    et y2 un minimun de h cad h(a2)=y2
    on peut pas dire que le minimun de f est y+y2

  13. #12
    tuan

    Re : Sos DL COMPLEXES

    nan, y est en x2, sa valeur en tout point est en dimension de x au carré (pour faire comme en physique... il est intéressant de penser tjrs à vérifier la cohérence des dimensions)

  14. #13
    tuan

    Re : Sos DL COMPLEXES

    Citation Envoyé par No man's land Voir le message
    ...Si on a f(x)=g(x)+h(x)
    si y est un minimun de g cad g(a)=y
    et y2 un minimun de h cad h(a2)=y2
    on peut pas dire que le minimun de f est y+y2
    Cà, c'est vrai je suis allé un peu trop vite. Il faut prendre le minimum entre les deux f(a1) et f(b1). Je te dis merci à mon tour.

  15. #14
    FonKy-

    Re : Sos DL COMPLEXES

    j'avoue je vous suis pas trop, pourquoi faire si compliqué ?

    La fonction est continue et minoré, donc possède un min, et la limite en +inf est +inf, donc pas de max, ca s'arrete la :/

    Ce sont des résultats triviaux.

  16. #15
    Flyingsquirrel

    Re : Sos DL COMPLEXES

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    La fonction est continue et minoré, donc possède un min
    La fonction est continue sur et minorée par 0 mais elle n'admet pas de minimum...

  17. #16
    No man's land

    Re : Sos DL COMPLEXES

    A mon avis, on ne peut pas dire que la valeur minimale est le min de f(a1) t f(b2) car il se peut qu'il y ait un autre nombre inférieur à f'a1) et f(b1)

  18. #17
    tuan

    Re : Dl complexes

    Salut,
    C'est très juste, j'avoue avoir consacré peu de temps au problème et j'ai fait des conclusion hâtives. Normalement, pour trouver le minimum de f(x) il faut d'abord trouver le zéro de sa fonction dérivée.

  19. #18
    Denoby

    Re : Dl complexes

    Toujours penser à la représentation géométrique des complexes en terminale.

    Ici par exemple, en posant A, B et C les points d'affixes a, b et x. Que représente |x-a| ? |x-b| ? et donc f(x) ?

    Enfin une astuce pour terminer l'exercice. On peut remarquer que si on remplace A par son symétrique A' par rapport à l'axe des abscisses (d'affixe le conjugué de a), la fonction f reste la même. On peut donc se ramener à une situation où A et B sont de part et d'autre de l'axe des abscisses. Cela simplifie le problème une fois compris ce que représente f(x) géométriquement.

    Denoby

  20. #19
    tuan

    Re : Dl complexes

    Excellent, Denoby !
    Le minimum se présente lorsque x est à l'intersection (lire 1) avec l'axe réel du segment joignant a' et b (ou a et b') (' pour conjugué),
    f(x)min (=taille de ce segment) = sqrt( 2(1 -a1b1 + |a2b2| ) ) (lire 2)

    (1) le chemin le plus court entre 2 points est une ligne droite…
    (2) MN.MN = OM.OM +ON.ON -2OM.ON (produits scalaires des vecteurs)
    Images attachées Images attachées  

  21. #20
    FonKy-

    Re : Sos DL COMPLEXES

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    La fonction est continue sur et minorée par 0 mais elle n'admet pas de minimum...
    oui mais avec les limites infinies ?

  22. #21
    Flyingsquirrel

    Re : Sos DL COMPLEXES

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    oui mais avec les limites infinies ?
    Ça fonctionne mais il faudrait détailler davantage. De toute façon ce raisonnement utilise le théorème qui dit qu'une fonction continue est bornée et atteint ces bornes... et je crois que ce résultat n'est pas au programme de terminale.

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