exo dérivation

invite098db0ca · 31/12/2008, 15h36

voila bonjour, j'ai un problème sur un exercice de maths:

Soit f la fonction définie par: f(x)= tan x= sinx/cos x.

1.a resoudre dans R l'équation cos x= 0 ---> ça j'ai utiliser un cercle trigonométrique et j'ai trouvé pi/2 et 3pi/2
b en déduire l'ensemble D de définition de f ----> la j'ai trouvé Df=R/(pi/2;2pi/3)
2. Démontrer que f est dérivable sur D et que: pour tout reel x apparteant a D, f'(x)=1-tan2 (x)= 1/cos2(x) ----> j'ai pas trouver comment démontrer que f est dérivale sur D, j'ai pas réussi a démontrer que f'(x)=1-tan2(x) mais j'ai trouvé que f'(x)=(cos(x)x cos(x)+sin(x)xsin(x))/cos2(x)=(cos2(x)+sin2(x))/cos2(x)=1/cos2(x)
3. En déduire la limite du rapport tanx/x quand x tend vers 0 ----> la je patauge complet

Donc si quelqu'un peut m'aider c'est pas de refus^^

**VegeTal** · 31/12/2008, 15h50

Bonjour,

Pour l'équation $\text{[math]}$ il te manque... une infinité de solutions !!

en effet $\text{[math]}$ marche mais $\text{[math]}$ marche aussi et ainsi de suite...

D'où le problème pour trouver l'ensemble de définition qui n'est pas $\text{[math]}$ -{ $\text{[math]}$ }

D'ailleurs vérifiable à la calculatrice.

Ensuite pour la dérivé :

l'intention était bonne mais ce n'est pas $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$

Pour trouver la limite en 0 :

tu viens de montrer que f est dérivable sur les intervalles où elle est définie.

que peux tu dire de $\text{[math]}$ ?

comment en s'aidant de la définition de la dérivé peux tu alors trouver $\text{[math]}$

invite098db0ca · 31/12/2008, 15h55

merci pour la réponse rapide, mais pour le 1)a si il y a une infinité de solution, comment je rédige ça ? par contre sur mon énoncé, j'ai bien f'(x)=1-tan2(x)=1/cos2(x) donc je sais pas
tan(0)=0 ça c'est bon lol, mais apres je vois pas du tout

**VegeTal** · 31/12/2008, 17h39

Pourtant la dérive de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ ...

si je t'écris que soit $\text{[math]}$ une fonction dérivable en $\text{[math]}$ :

alors $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$

ça devrait t'aider non ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite098db0ca · 01/01/2009, 09h50

euh non dsl mais je connais pas du tout cette formule -_-' donc bon ^^ sinon comment peut-on démontrer la dérivabilité d'un fonction sur un intervale donné ? Et pour la 1.a si je donne comme réponse S=(xpi+pi/2), et Df=R/(xpi+pi/2) est-ce que ça convient cette fois ? Par contre comment arrive tu a la conclusion que f'(x)= 1+tan2(x), pourrais-je avoir quelques pistes pour m'aider a le démontrer ?

**Arkangelsk** · 01/01/2009, 10h18

Bonjour et bonne année,

Et pour la 1.a si je donne comme réponse S=(xpi+pi/2), et Df=R/(xpi+pi/2) est-ce que ça convient cette fois ?

On présente de préférence l'ensemble sous cette forme :

$\text{[math]}$

et donc $\text{[math]}$

Pour le calcul de la dérivée :

tu as trouvé $\text{[math]}$

Il te suffit de décomposer en deux fractions.

invite098db0ca · 01/01/2009, 10h26

oui toi aussi bonne année!!! merci pour la 1

donc si j'ai bien compris :
f'(x)=cos2(x)/cos2(x) + sin2(x)/cos2(x)=1+tan2(x)
f'(x)= cos2(x)+sin2(x)/cos2(x)=1/cos2(x)

par contre j'ai toujours pas compris comment démontrer la dérivabilité d'une fonction lol, et je l'ai pratiquement dans tout mes exo

et pour la formule avec la limite, pourrais-tu expliquer un peu car je ne lavais jamais rencontrée

invite8aab28fb · 01/01/2009, 10h39

Pour montrer la déravibilité d'une fonction, il suffit de montrer qu'elle est formée (produit, somme, éventuellement composée) de fonctions dérivables sur l'intervalle considéré.

Envoyé par VegeTal

si je t'écris que soit $\text{[math]}$ une fonction dérivable en $\text{[math]}$ :

alors $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$

La formule avec la limite est la définition de la dérivée de u en a, c'est presque sûr qu'elle y soit dans ton cours...
(peut-être sous la forme $\text{[math]}$ )

invite098db0ca · 01/01/2009, 10h53

ah ok merci !!! donc il faut décomposer la fonction avec :
x---> 1/cosx=X f'(x)= sinx/cos2(x) dérivable sur Df
X---> sinx f'(X)=cos x dérivable sur R

donc f(x) dérivble sur Df

C'est vrai j'ai la deuxième formule mais comment je l'adapte ?

invite8aab28fb · 01/01/2009, 10h57

Ben, c'est la même chose, quand on écrit x->a ça veut dire x=a+h avec h->0..
Et de même x-a ->0 (quand x->a) donc c'est pareil que h->0...
Plus rigoureusement, tu effectue le changement de variable h=x-a

invite098db0ca · 01/01/2009, 11h04

ok lol donc lim h-->0 f(a+h)-f(a)/h= lim h-->0 (tan(a+h)/a+h)-(tan(a)/a)/h

mais alors apres pour simplifier c'est autre chose xD

**Arkangelsk** · 01/01/2009, 11h06

par contre j'ai toujours pas compris comment démontrer la dérivabilité d'une fonction lol, et je l'ai pratiquement dans tout mes exo

Je n'aime pas l'expression "démontrer la dérivabilité". Tu devrais plutôt dire "démontrer que la fonction est dérivable sur D" et parler de "domaine de dérivabilité". A ce stade, je te conseille de considérer un intervalle quelconque, par exemple $\text{[math]}$ . La fonction tangente est une fonction usuelle. Il te suffit de dire que c'est le quotient de deux fonctions trigonométriques (dont on connaît la dérivabilité) défini sur cet intervalle, donc dérivable.

et pour la formule avec la limite, pourrais-tu expliquer un peu car je ne lavais jamais rencontrée

Cette "formule avec la limite" est la définition du nombre dérivé en un point. Tu as dû le voir sous une forme ou une autre.

Une fonction $\text{[math]}$ est dérivable en un point $\text{[math]}$ si :

$\text{[math]}$ existe et est fini.

C'est à dire pour une fonction réelle :

$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$

invite098db0ca · 01/01/2009, 11h09

mais est-ce que la limite que j'ai écrite est juste ?

**Arkangelsk** · 01/01/2009, 11h15

Envoyé par lapetitemiss

mais est-ce que la limite que j'ai écrite est juste ?

lim h-->0 f(a+h)-f(a)/h= lim h-->0 (tan(a+h)/a+h)-(tan(a)/a)/h

Non, pas du tout

.

invite098db0ca · 01/01/2009, 11h17

ah ^^ mince alors, tu peux me donner quelques indication stp ? parce que la je patauge complet

**Arkangelsk** · 01/01/2009, 11h23

Envoyé par lapetitemiss

ah ^^ mince alors, tu peux me donner quelques indication stp ? parce que la je patauge complet

Une indication : relis mon post #12 que tu n'as pas lu, il me semble, avec suffisamment d'attention ...

Pour le nombre dérivé, il te suffit d'appliquer la formule à ton exemple. Ce n'est pas sorcier, tu devrais t'en sortir toute seule, je te laisse poster la (bonne

) réponse.

PS : Pour écrire de belles formules, je t'invite à consulter ce lien.

invite098db0ca · 01/01/2009, 11h31

ok bon si je reprend ton post, lim x-->0 (f(x)-f(0))/x-0 jusuqe la je pense que c'est bon lol ensuite:
lim x-->0 (tan(x)/x-tan(0)/0)/x euh la y'a un probleme avec le /0 donc je vois pas tellement

**Arkangelsk** · 01/01/2009, 12h54

lim x-->0 (f(x)-f(0))/x-0 jusuqe la je pense que c'est bon lol ensuite:

Tu souhaites calculer $\text{[math]}$ , le nombre dérivé en $\text{[math]}$ . Soit, mais pourquoi ce point particulier ?

lim x-->0 (tan(x)/x-tan(0)/0)/x euh la y'a un probleme avec le /0 donc je vois pas tellement

Non.

Je te réécris la limite pour un point quelconque :

$\text{[math]}$

Que vaut $\text{[math]}$ ? Que vaut $\text{[math]}$ ?

Que vaut $\text{[math]}$ ?

**VegeTal** · 01/01/2009, 13h21

Envoyé par lapetitemiss

ok bon si je reprend ton post, lim x-->0 (f(x)-f(0))/x-0 jusuqe la je pense que c'est bon lol ensuite:
lim x-->0 (tan(x)/x-tan(0)/0)/x euh la y'a un probleme avec le /0 donc je vois pas tellement

ça c'est bon ;

donc tu as dans ton cas particulier $\text{[math]}$ et tu cherches la limite de $\text{[math]}$ tu commences à comprendre pourquoi je te faisais calculer $\text{[math]}$ ?

que peux tu dire de $\text{[math]}$ ?

et donc $\text{[math]}$ ?

invite098db0ca · 01/01/2009, 14h31

non j'y capte de moins en moins. lim x-->0 (tan(x)-tan(0)/x-0=tan(x)/x mais apres je vois pas le rapport

**VegeTal** · 01/01/2009, 14h43

Fais un effort !

tu sais que si $\text{[math]}$ est une fonction dérivable en a alors $\text{[math]}$

Dans ton exemple ça donne quoi ?

invite098db0ca · 01/01/2009, 14h48

mais j'essaye mais pour a je peux pas prendre 0 parce que sinon ça fait lim x-->0 f(x)-f(0)/x-0=lim x--> (tan(x)/x-tan(0)/0)/x or on ne peut pas diviser par 0

**VegeTal** · 01/01/2009, 15h35

Envoyé par lapetitemiss

mais j'essaye mais pour a je peux pas prendre 0 parce que sinon ça fait lim x-->0 f(x)-f(0)/x-0=lim x--> (tan(x)/x-tan(0)/0)/x or on ne peut pas diviser par 0

tu le sors de où ça ?

on reprend fais simple et répond à mes questions.

$\text{[math]}$
bon alors que vaut $\text{[math]}$ ?

que vaut $\text{[math]}$

invite098db0ca · 01/01/2009, 15h38

lim x-->0 (tan(x)-tan(0))/x-0=0

**VegeTal** · 01/01/2009, 16h08

non.

tu brûles les étapes. La limite est égale à la dérivée en 0... comme écrit dans la définition de la dérivé.

invite098db0ca · 01/01/2009, 16h15

est-ce que la dérivée de tanx/x est x/cos2(x) ?

invite098db0ca · 01/01/2009, 16h27

non laissez tomber je dit n'importe quoi^^ par contre en relisant l'énoncer je m'appercois qu'il y a un lien entre la dérivée de f(x)=tanx et la limite de tanx/x car il y en "en déduire", mais je vois pas du tout (pour changer^^)

**VegeTal** · 01/01/2009, 16h47

relis la discussion toutes les réponses y sont. on ta dit en long et en large que la solution venait de $\text{[math]}$ .

invite098db0ca · 02/01/2009, 08h22

oui ça je l'ai compris, j'ai compris aussi que lim x--> tan(x)-tan(0)/x-0 = lim x-->0 tan(x)/x mais je comprend pas pourquoi ce n'est pas égal a 0 ?

**Arkangelsk** · 02/01/2009, 08h38

Envoyé par lapetitemiss

oui ça je l'ai compris, j'ai compris aussi que lim x--> tan(x)-tan(0)/x-0 = lim x-->0 tan(x)/x mais je comprend pas pourquoi ce n'est pas égal a 0 ?

Pourquoi cela serait-il égal à $\text{[math]}$ ?

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