exo dérivation
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exo dérivation



  1. #1
    invite098db0ca

    exo dérivation


    ------

    voila bonjour, j'ai un problème sur un exercice de maths:

    Soit f la fonction définie par: f(x)= tan x= sinx/cos x.

    1.a resoudre dans R l'équation cos x= 0 ---> ça j'ai utiliser un cercle trigonométrique et j'ai trouvé pi/2 et 3pi/2
    b en déduire l'ensemble D de définition de f ----> la j'ai trouvé Df=R/(pi/2;2pi/3)
    2. Démontrer que f est dérivable sur D et que: pour tout reel x apparteant a D, f'(x)=1-tan2 (x)= 1/cos2(x) ----> j'ai pas trouver comment démontrer que f est dérivale sur D, j'ai pas réussi a démontrer que f'(x)=1-tan2(x) mais j'ai trouvé que f'(x)=(cos(x)x cos(x)+sin(x)xsin(x))/cos2(x)=(cos2(x)+sin2(x))/cos2(x)=1/cos2(x)
    3. En déduire la limite du rapport tanx/x quand x tend vers 0 ----> la je patauge complet

    Donc si quelqu'un peut m'aider c'est pas de refus^^

    -----

  2. #2
    invite890931c6

    Re : exo dérivation

    Bonjour,

    Pour l'équation il te manque... une infinité de solutions !!

    en effet marche mais marche aussi et ainsi de suite...

    D'où le problème pour trouver l'ensemble de définition qui n'est pas -{}

    D'ailleurs vérifiable à la calculatrice.

    Ensuite pour la dérivé :

    l'intention était bonne mais ce n'est pas c'est

    Pour trouver la limite en 0 :

    tu viens de montrer que f est dérivable sur les intervalles où elle est définie.

    que peux tu dire de ?

    comment en s'aidant de la définition de la dérivé peux tu alors trouver

  3. #3
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    merci pour la réponse rapide, mais pour le 1)a si il y a une infinité de solution, comment je rédige ça ? par contre sur mon énoncé, j'ai bien f'(x)=1-tan2(x)=1/cos2(x) donc je sais pas
    tan(0)=0 ça c'est bon lol, mais apres je vois pas du tout

  4. #4
    invite890931c6

    Re : exo dérivation

    Pourtant la dérive de est ...

    si je t'écris que soit une fonction dérivable en :

    alors
    avec

    ça devrait t'aider non ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    euh non dsl mais je connais pas du tout cette formule -_-' donc bon ^^ sinon comment peut-on démontrer la dérivabilité d'un fonction sur un intervale donné ? Et pour la 1.a si je donne comme réponse S=(xpi+pi/2), et Df=R/(xpi+pi/2) est-ce que ça convient cette fois ? Par contre comment arrive tu a la conclusion que f'(x)= 1+tan2(x), pourrais-je avoir quelques pistes pour m'aider a le démontrer ?

  7. #6
    Arkangelsk

    Re : exo dérivation

    Bonjour et bonne année,

    Et pour la 1.a si je donne comme réponse S=(xpi+pi/2), et Df=R/(xpi+pi/2) est-ce que ça convient cette fois ?
    On présente de préférence l'ensemble sous cette forme :



    et donc

    Pour le calcul de la dérivée :

    tu as trouvé

    Il te suffit de décomposer en deux fractions.

  8. #7
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    oui toi aussi bonne année!!! merci pour la 1 donc si j'ai bien compris :
    f'(x)=cos2(x)/cos2(x) + sin2(x)/cos2(x)=1+tan2(x)
    f'(x)= cos2(x)+sin2(x)/cos2(x)=1/cos2(x)

    par contre j'ai toujours pas compris comment démontrer la dérivabilité d'une fonction lol, et je l'ai pratiquement dans tout mes exo

    et pour la formule avec la limite, pourrais-tu expliquer un peu car je ne lavais jamais rencontrée

  9. #8
    invite8aab28fb

    Re : exo dérivation

    Pour montrer la déravibilité d'une fonction, il suffit de montrer qu'elle est formée (produit, somme, éventuellement composée) de fonctions dérivables sur l'intervalle considéré.

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message

    si je t'écris que soit une fonction dérivable en :

    alors
    avec
    La formule avec la limite est la définition de la dérivée de u en a, c'est presque sûr qu'elle y soit dans ton cours...
    (peut-être sous la forme )

  10. #9
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    ah ok merci !!! donc il faut décomposer la fonction avec :
    x---> 1/cosx=X f'(x)= sinx/cos2(x) dérivable sur Df
    X---> sinx f'(X)=cos x dérivable sur R

    donc f(x) dérivble sur Df

    C'est vrai j'ai la deuxième formule mais comment je l'adapte ?

  11. #10
    invite8aab28fb

    Re : exo dérivation

    Ben, c'est la même chose, quand on écrit x->a ça veut dire x=a+h avec h->0..
    Et de même x-a ->0 (quand x->a) donc c'est pareil que h->0...
    Plus rigoureusement, tu effectue le changement de variable h=x-a

  12. #11
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    ok lol donc lim h-->0 f(a+h)-f(a)/h= lim h-->0 (tan(a+h)/a+h)-(tan(a)/a)/h


    mais alors apres pour simplifier c'est autre chose xD

  13. #12
    Arkangelsk

    Re : exo dérivation

    par contre j'ai toujours pas compris comment démontrer la dérivabilité d'une fonction lol, et je l'ai pratiquement dans tout mes exo
    Je n'aime pas l'expression "démontrer la dérivabilité". Tu devrais plutôt dire "démontrer que la fonction est dérivable sur D" et parler de "domaine de dérivabilité". A ce stade, je te conseille de considérer un intervalle quelconque, par exemple . La fonction tangente est une fonction usuelle. Il te suffit de dire que c'est le quotient de deux fonctions trigonométriques (dont on connaît la dérivabilité) défini sur cet intervalle, donc dérivable.

    et pour la formule avec la limite, pourrais-tu expliquer un peu car je ne lavais jamais rencontrée
    Cette "formule avec la limite" est la définition du nombre dérivé en un point. Tu as dû le voir sous une forme ou une autre.

    Une fonction est dérivable en un point si :

    existe et est fini.

    C'est à dire pour une fonction réelle :



    avec

  14. #13
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    mais est-ce que la limite que j'ai écrite est juste ?

  15. #14
    Arkangelsk

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par lapetitemiss Voir le message
    mais est-ce que la limite que j'ai écrite est juste ?
    lim h-->0 f(a+h)-f(a)/h= lim h-->0 (tan(a+h)/a+h)-(tan(a)/a)/h
    Non, pas du tout .

  16. #15
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    ah ^^ mince alors, tu peux me donner quelques indication stp ? parce que la je patauge complet

  17. #16
    Arkangelsk

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par lapetitemiss Voir le message
    ah ^^ mince alors, tu peux me donner quelques indication stp ? parce que la je patauge complet
    Une indication : relis mon post #12 que tu n'as pas lu, il me semble, avec suffisamment d'attention ...

    Pour le nombre dérivé, il te suffit d'appliquer la formule à ton exemple. Ce n'est pas sorcier, tu devrais t'en sortir toute seule, je te laisse poster la (bonne ) réponse.

    PS : Pour écrire de belles formules, je t'invite à consulter ce lien.

  18. #17
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    ok bon si je reprend ton post, lim x-->0 (f(x)-f(0))/x-0 jusuqe la je pense que c'est bon lol ensuite:
    lim x-->0 (tan(x)/x-tan(0)/0)/x euh la y'a un probleme avec le /0 donc je vois pas tellement

  19. #18
    Arkangelsk

    Re : exo dérivation

    lim x-->0 (f(x)-f(0))/x-0 jusuqe la je pense que c'est bon lol ensuite:
    Tu souhaites calculer , le nombre dérivé en . Soit, mais pourquoi ce point particulier ?

    lim x-->0 (tan(x)/x-tan(0)/0)/x euh la y'a un probleme avec le /0 donc je vois pas tellement
    Non.

    Je te réécris la limite pour un point quelconque :



    Que vaut ? Que vaut ?

    Que vaut ?

  20. #19
    invite890931c6

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par lapetitemiss Voir le message
    ok bon si je reprend ton post, lim x-->0 (f(x)-f(0))/x-0 jusuqe la je pense que c'est bon lol ensuite:
    lim x-->0 (tan(x)/x-tan(0)/0)/x euh la y'a un probleme avec le /0 donc je vois pas tellement
    ça c'est bon ;

    donc tu as dans ton cas particulier et tu cherches la limite de tu commences à comprendre pourquoi je te faisais calculer ?

    que peux tu dire de ?

    et donc ?

  21. #20
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    non j'y capte de moins en moins. lim x-->0 (tan(x)-tan(0)/x-0=tan(x)/x mais apres je vois pas le rapport

  22. #21
    invite890931c6

    Re : exo dérivation

    Fais un effort !

    tu sais que si est une fonction dérivable en a alors

    Dans ton exemple ça donne quoi ?

  23. #22
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    mais j'essaye mais pour a je peux pas prendre 0 parce que sinon ça fait lim x-->0 f(x)-f(0)/x-0=lim x--> (tan(x)/x-tan(0)/0)/x or on ne peut pas diviser par 0

  24. #23
    invite890931c6

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par lapetitemiss Voir le message
    mais j'essaye mais pour a je peux pas prendre 0 parce que sinon ça fait lim x-->0 f(x)-f(0)/x-0=lim x--> (tan(x)/x-tan(0)/0)/x or on ne peut pas diviser par 0
    tu le sors de où ça ?

    on reprend fais simple et répond à mes questions.


    bon alors que vaut ?

    que vaut

  25. #24
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    lim x-->0 (tan(x)-tan(0))/x-0=0

  26. #25
    invite890931c6

    Re : exo dérivation

    non.

    tu brûles les étapes. La limite est égale à la dérivée en 0... comme écrit dans la définition de la dérivé.

  27. #26
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    est-ce que la dérivée de tanx/x est x/cos2(x) ?

  28. #27
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    non laissez tomber je dit n'importe quoi^^ par contre en relisant l'énoncer je m'appercois qu'il y a un lien entre la dérivée de f(x)=tanx et la limite de tanx/x car il y en "en déduire", mais je vois pas du tout (pour changer^^)

  29. #28
    invite890931c6

    Re : exo dérivation

    relis la discussion toutes les réponses y sont. on ta dit en long et en large que la solution venait de .

  30. #29
    invite098db0ca

    Re : exo dérivation

    oui ça je l'ai compris, j'ai compris aussi que lim x--> tan(x)-tan(0)/x-0 = lim x-->0 tan(x)/x mais je comprend pas pourquoi ce n'est pas égal a 0 ?

  31. #30
    Arkangelsk

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par lapetitemiss Voir le message
    oui ça je l'ai compris, j'ai compris aussi que lim x--> tan(x)-tan(0)/x-0 = lim x-->0 tan(x)/x mais je comprend pas pourquoi ce n'est pas égal a 0 ?
    Pourquoi cela serait-il égal à ?

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