composition de fonction affines

[invite4b6e0909]

bonjour ,je fais apelle a votre aide ,
je fais un excercice mais je ne comprend pa la question 3 pouvez m'aider s'il vous plait
je vous met le sujet et les reponse que j'ai trouver

1) Démontrez que fog = gof équivaut à :
d(a-1) = b(c-1)

2) Dans cette question, on donne a=2 et b=1. A chaque couple (c;d) on associe le point M de coordonées (c;d) dans un repère orthonormal. Construisez l'ensemble des points M tels que fog = gof.

3) On note Δ la droite d'equation y=x, d et d' celles d'équations y=ax+b et y=cx+d. En tenant compte de 1) démontrez que les propriétés suiventes sont equivalentes :
_ P1:fog = gof
_ P2:Δ,d,d' sont concourantes ou parallèles.


voici ce que j'ai repondu :
1)
fog(x) = f(g(x)) = f(cx+d) = a(cx+d) + b = acx + ad + b
gof(x) = g(f(x)) = g(ax+b) = c(ax+b) + d = acx + bc + d

fog = gof <==> pour tout x, acx + ad + b = acx + bc + d <==>
ad+b =cb+d <==> ad - d = bc - b <==> d(a-1) = b(c-1)


2)

nous avons vu que fog =gof => d(a-1) = b(c-1)

si a=2 et b=1 alors fog =gof => d(2-1)=1(c-1) =>d=c-1

or Or, c et d sont les coordonnées d'un point, donc d=c-1 formule s'écrit aussi y = x - 1
l'ensemble des points M est donc une droite d'eq d=c-1

3) pouvez vous m'aider s'il vous plait merci
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[Jeanpaul]

OK pour les questions 1 et 2.
La question 3 : dis que les 3 droites se coupent en un point de coordonnées (x0,y0). Quelles relations sont vérifiées par x0 et y0 ? En tripotant un peu, tu trouveras que cela est équivalent à b(1-c) = d(1-a) qui est la condition P1
Un os apparaît si a=1, qu'il faut traiter à part (on voit qu'alors les droites sont parallèles).

[invite4b6e0909]

ok merci mai je ne vois pa de quoi tu parle lorsque tu parle de les 3 droites se coupent en un point de coordonnées (x0,y0). Quelles relations sont vérifiées par x0 et y0 ? En tripotant un peu, tu trouveras que cela est équivalent à b(1-c) = d(1-a) qui est la condition P1 dsl mais pourrait tu me réexpliquer ?
parcontre pour le reste je voi de quoi tu parle

merci

[Jeanpaul]

C'est très simple : si le point de coordonnées (x0,y0) est sur les 3 droites, on a les 3 relations :
y0 = x0
y0 = a x0 + b
y0 = c x0 + d
D'où en remplaçant y0 par x0 (à cause de la 1ère relation) :
x0 (1 - a) = b
x0 (1 - c) = d
Et on voit qu'il faut regarder à part le cas où a=1 ou c=1 et que si ce n'est pas le cas, le produit en croix donne d(1-a) = b(1-c)
Inversement si cette relation est vérifiée alors la 3ème relation est automatique à partir de la seconde et on peut trouver x0 et y0 (autrement ça ne marche pas car il y aurait 3 équations pour 2 inconnues).
Si a=1 on voit qu'il faut que b=0. Si c=1, il faut d=0
On voit que 2 des droites sont confondues et la 3ème est parallèle.

P.S. Un petit effort sur l'orthographe, merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b6e0909]

ok ok j'ai compris merci beaucoup