aide composition de fonction

[invite4b6e0909]

bonjour ,je fais apelle a votre aide ,
je fais un excercice mais je ne comprend pa la question 3 pouvez m'aider s'il vous plait
je vous met le sujet et les reponse que j'ai trouver

1) Démontrez que fog = gof équivaut à :
d(a-1) = b(c-1) [1]

2) Dans cette question, on donne a=2 et b=1. A chaque couple (c;d) on associe le point M de coordonées (c;d) dans un repère orthonormal. Construisez l'ensemble des points M tels que fog = gof.

3) On note Δ la droite d'equation y=x, d et d' celles d'équations y=ax+b et y=cx+d. En tenant compte de [1] démontrez que les propriétés suivantes sont equivalentes :
_ P1:fog = gof
_ P2:Δ,d,d' sont concourantes ou parallèles.


voici ce que j'ai repondu :
1)
fog(x) = f(g(x)) = f(cx+d) = a(cx+d) + b = acx + ad + b
gof(x) = g(f(x)) = g(ax+b) = c(ax+b) + d = acx + bc + d

fog = gof <==> pour tout x, acx + ad + b = acx + bc + d <==>
ad+b =cb+d <==> ad - d = bc - b <==> d(a-1) = b(c-1)


2)

nous avons vu que fog =gof => d(a-1) = b(c-1)

si a=2 et b=1 alors fog =gof => d(2-1)=1(c-1) =>d=c-1

or Or, c et d sont les coordonnées d'un point, donc d=c-1 formule s'écrit aussi y = x - 1
l'ensemble des points M est donc une droite d'eq d=c-1

3) pouvez vous m'aider s'il vous plait merci
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[FonKy-]

Montrons que P1 => P2

En fait on va essayer de chercher le point d'intersection entre chaque droite.

On a : Entre et d
x=ax+b <=> (1-a)x=b

1er cas A: a=1 => y=ax+b=x+b => et d sont parallèles.

2d cas A: a=!1 => x=b/(1-a) (=! veut dire différent)
donc le point d'intersection est en x1=b/(1-a)

Ensuite entre et d'
x=cx+d <=> (1-c)x=d

1er cas B: c=1 => y=cx+d=x+d => et d' parallèle.
2d cas B: c=! 1 => x=d/(1-c)
donc le point d'intersection est en x2=d/(1-c)

Apres pour conclure , il te faut faire interférer les cas A et B:

Si t'es dans le 1er cas A et 1er cas B, alors les 3 droites sont parallèles.

Si t'es dans le 1er cas A et 2d cas B,
d'apres [1] : d(a-1) = b(c-1) => b(c-1) = 0 => b=0 car c=! 1 (car 2d cas B!!)
=> y=ax+b=x , donc et d, sont superposée, et vu que c est différent de 1, d' va croiser les 2 autres droites. Mais comme ces 2 autres droites sont superposée, alors elles sont concourantes.


Si t'es dans le 2d cas A et 1e cas B, (idem)
d'apres [1] : d(a-1) = b(c-1) => d(a-1) = 0 => d=0 car a=! 1 (car 2d cas A!!)
=> y=cx+d=x , donc et d', sont superposée, et vu que a est différent de 1, d va croiser les 2 autres droites. Mais comme ces 2 autres droites sont superposée, alors elles sont concourantes.

Si t'es dans le 2d cas A et 2d cas B,
d'apres [1] : d(a-1) = b(c-1) => d/(c-1)=b/(a-1) => d/(1-c)=b/(1-a)
or on a vu dans ca cas là que l'intersection entre et d se fait au point x1=b/(1-a), et que l'intersection entre et d' se fait au point x2=d/(1-c).
or on vient de montrer dans ce tout derneir cas que d/(1-c)=b/(1-a)
conclusion: x1=x2 , et donc les 3 droites sont concourantes.



Voilà, j'espere que t'aura tout compris (je t'interdis de dire le contraire )
Si t'as des questions n'hésite pas j'ai fait un peu grossier peut-être.

FonKy-

[FonKy-]

Oups j'ai oublié la réciproque:

Pour la réciproque: P2=>P1
on aurait ptet pu raisonner par équivalence, mais bon bref:

Si les 3 droites sont concourantes, alors x1=x2 => d/(1-c)=b/(1-a) => d(a-1) = b(c-1) => [1]
et
Si les 3 droites sont parallèles, alors a=c=1, ce qui est bien traduit dans [1], car d(a-1) = b(c-1) => d.0=b.0 => 0=0

Donc la réciproque est vraie

[invite4b6e0909]

j'ai tout compris merci beaucoup
et non c'etait pas grossier lol

[A voir en vidéo sur Futura]

[FonKy-]

de rien