complexes

[invite54d1b541]

Bonjour,
Je suis complètement bloquée sur la 3ème question d'un exercice, qui est indépendante des deux premières...

3)soit f l'application de dans lui même défini par f(z) = z4- (1/2)iz3+8z-4i

a)démontrer que l'équation f(z)=0 admet une solution d'argument /3 en cherchant la valeur du réel positif r telle que f(rei(/3)=0

b)démontrer qu'il existe deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre z on ait f(z)=(z²-2z+4)(z²+az+b)

c)En déduire l'ensemble des solutions dans de l'équation f(z)=0

Merci d'avance et bonne année !
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[MS.11]

Bonjour.
Alors je suppose que tes z4 sont des puissances.
Pour ce qui est de l'application de ??? dans lui-même c'est pas très important.

La question b) est simple. Tu développes la forme factorisée qu'on te donne. Puis tu identifies tes coefficients et tu trouves les valeurs de a et b.

Ta question a) est incompréhensible. Tu as dû oublier un PI avant le /3 et pour ta f(rei(/3)=0, j'avoue ne pas saisir.

Essaie d'éclaircir l'énoncé pour qu'on puisse t'éclaircir à notre tour ! Même si actuellement le temps est davantage à la neige qu'aux éclaircies...

[invite54d1b541]

désolée...voici l'énoncé, je l'éspère plus clair

3)soit f l'application de dans lui même défini par f(z) = z^4- (1/2)iz3+8z-4i

a)démontrer que l'équation f(z)=0 admet une solution d'argument ^pi/3 en cherchant la valeur du réel positif r telle que f(re^ i(pi/3)=0

b)démontrer qu'il existe deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre z on ait f(z)=(z²-2z+4)(z²+az+b)

c)En déduire l'ensemble des solutions dans de l'équation f(z)=0

Merci d'avance et bonne année !

[MS.11]

Pour la a) tu remplaces z par r.exp(i.pi/3) et après c'est du calcul ! Tu résouds l'équation en r ! Et tu l'exhibes (pas trop quand même, l'exhibitionnisme est prohibé par l'article 128 alinéa 2a du code civil de Bonaparte en 1802 )

Pour la b) je te l'ai expliqué : développement, identification des coefficients et hop, on trouve a et b.

Pour la c) quoi de plus simple ? Un produit de facteurs est nul si l'un ou l'autre des facteurs l'est. Tu résouds un polynôme de degré 2 à coefficients réels (pour les coefficients complexes, faudra attendre l'année prochaine) mais avec des solutions complexes.

En espérant t'avoir aidé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54d1b541]

OK c'est bon maintenant j'ai la méthode, et c'est ce qu'il me fallait! Merci!

[invite54d1b541]

euh par contre je galère un peu là pour faire f(re^ipi/3)=0...
Tu pourrait m'aider un peu ?

[MS.11]

Beh c'est du calcul.

Ca tu dois le faire toi même, sinon tu progresseras jamais. Te donner les pistes c'est formateur mais après c'est à toi de le faire. Puis j'ai pas envie de calculer ça là ^^. Mais toujours pour te donner des pistes. Tu peux te servir des formules de Moivre (puissance d'un nombre complexe) et ensuite je ne sais pas si c'est plus facile de travailler avec les formes algébriques ou ou exponentielles, encore une fois c'est à toi de voir. Tu devrais t'apercevoir que la partie imaginaire de ton membre de gauche est nulle. Et tu cherches r pour que la partie réelle soit nulle aussi. Avec le puissance 4 tu risque de te retrouver avec du bicarré ou alors une factorisation simple (pense à tes identités remarquables). Sans avoir fait le calcul je ne peux pas t'en dire plus.

[MS.11]

Bon allez, un indice de plus.

Tu remplaces avec la forme exponentielle.
Tu utilises la formule de Moivre pour te débarrasser des puissances d'exponentielles.
Tu passes en forme algébrique.
Tu sépares partie réelle et partie imaginaire.

Il est alors préférable de résoudre l'équation avec la partie réelle, que tu veux nulle. Tu obtiens deux solutions : r=0 ou r=2 Tu exclus que le module puisse être nul. Tu vérifies que r=2 annule également la partie imaginaire.

[invite54d1b541]

OK...
en fait c'est que je n'arrive pas à faire en sorte que les re^ipi/3 s'annulent, et je n'arrive pas à m'en débarrasser...
Mais je n'ai en aucun cas demander que l'on fasse ce calcul pour moi...
Merci!

[MS.11]

Lis mon dernier post ^^

[invite54d1b541]

Nos post se sont croisés
Merci beaucoup pour tes petits indices je vais continuer mes recherches...