Equation de plan

[invite7458f97a]

Bonjour,

je bloque sur un exercice. Voici l'énoncé :

L'espace est muni d'un repère orthonormal.
Soit (d) la droite passant par A(2;0;1) et de vecteur directeur u(1;1;1) et soit B(3;2;4)
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de B sur (d)

Je pense qu'il faut travailler dans le plan de la droite (d) et du point B. Mais il faut d'abord trouver l'équation du plan... et là je bloque pour trouver le vecteur normal n(a;b;c). Il me semble qu'on peut passer du vecteur directeur au vecteur normal en changeant les coordonnées mais je ne sais plus comment

En gros : je rame. Qui m'aide a pagayer?
Merci d'avance pour votre aide
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[Jeanpaul]

Appelle M le point courant de la droite d. Tu peux repérer ce point par son abscisse sur d (un seul paramètre). Tu écris alors que la distance entre M et B est minimale.

[invite7458f97a]

donc M est le projeté orthogonal de B sur (d).
J'ai essayé de résoudre MA.MB=0 en utilisant la formule xx'+yy'+zz'=0
Mais ca ne m'amène a rien

[God's Breath]

Tu écris une représentation paramétrique de la droite , qui te fournit les coordonnées du point en fonction d'un paramètre .

Par définition de la projection orthogonale, et sont orthogonaux.

Tu écris cette condition d'orthogonalité à l'aide d'un produit scalaire, ce qui te fournit une équation pour calculer , et de là les coordonnées de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

donc M est le projeté orthogonal de B sur (d).
J'ai essayé de résoudre MA.MB=0 en utilisant la formule xx'+yy'+zz'=0
Mais ca ne m'amène a rien

Ca n'amène à rien si on n'écrit pas aussi que M est sur la droite. Fais ce que dit God's Breath, c'est une autre façon qui marche aussi.

[hhh86]

Une équation de plan est de la forme ax+by+cz+d=0