Produit scalaire et ses applications - 1èreS

[invitea7b2cac3]

Bonjour à tous,
Je suis en classe de 1èreS, en pensionnat, et mon professeur de mathématiques nous a donné un devoir libre à faire pendant les vacances. A la maison personne n'est en mesure de m'aider c'est pour cela que je m'adresse à vous.

Voici mon exercice:
Dans un plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j), on considère la droite D d'équation 3x-2y+1=0 et le point A(2;1).

1) Tracer la droite D et placer le point A (jusque là ça va ^^)
2) a) Calculer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur la droite D
b) En déduire la longueur AH, appelée distance du point A à la droite D

Voici ce que j'ai fait, mais je tourne en rond, rien n'aboutit! :
J'ai commencé par "transformer l'équation de la droite D: 3x-2y+1 <=> y=3/2x+1/2
Puis j'ai calculé l'équation du cercle de diamètre [AB], B(2;7/2) appartient à D, A et B appartiennent à C.
donc: soit H(x;y)€C <=> HA.HB=0 (produit scalaire)
<=> (2-x)(2-x)+(1-y)(7/2-y)=0
<=> x²+y²-4x-9/2y+15/2

Avec l'équation du cercle C et l'équation de la droite D j'ai voulu faire un système mais celui n'aboutit à rien à part à un ∆<0
J'ai refait plusieurs fois le calcul pour éviter les erreurs bêtes, mais sans résultat, toujours un ∆<0

Puis j'ai factoriser l'équation du cercle ce qui m'a donné:
C: (x-2)²+(y-9/2)²=25/16

donc C est un cercle de centre I(2;9/2) et de rayon r=5/4
Avec ceci, j'ai essayé de calculer la distance IH, vu que je connaissait la distance IH=r et les coordonnées de I j'espérais pouvoir obtenir les coordonnées de H (en effet avec le calcul d'une distance à partir de coordonnées) mais le résultat m'a ramené à l'équation du cercle développée (après calcul cela est évident! )

J'avoue que je ne sais plus quoi faire!

J'attends de votre aide, en vous remerciant à l'avance !!!
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[invitea3eb043e]

Tu as dû voir en cours que la droite d'équation a x + b y + c = 0 est perpendiculaire au vecteur de coordonnées [a ; b] et parallèle au vecteur [-b ; a].
Donc tu dois écrire que le vecteur AH est perpendiculaire au vecteur de composantes [-b ; a] soit , ici [2 ; 3].
Si tu poses que les coordonnées de H sont [x ; y] alors écris le produit scalaire de AH et du vecteur [2 ; 3] est nul, ça donne l'équation de la droite AH. Reste à trouver l'intersection des 2 droites.
On peut faire autrement mais ça fait appel à des notions que tu ne connais pas forcément.

[invitea7b2cac3]

Oui oui j'ai vu tout ça, donc je vais le faire et je vous en donne des nouvelles.
Pourriez-vous me parler de ces autres notions, j'ai peut-être vu, on ne sait jamais

Merci beaucoup!

[invitea84d96f1]

Bonjour,
Une conclusion de ce qu'a dit Jeanpaul:
les droites y = 4/5x +b sont perpendiculaires aux droites y = -5/4x +b' (ex.)

@New moon :
Ta démarche initiale n'était pas fausse bien que lourde..
A partir de...
l'équation du produit scalaire nul :
x² +y² -4x -9/2y +15/2 = 0
et l'équation du cercle :
x² +y² -4x -9y +... = 0
on déduit une équation de degré 1 en y = la solution (soustraction des 2 équations).
Pourquoi le ∆<0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea84d96f1]

...
Puis j'ai factoriser l'équation du cercle ce qui m'a donné:
C: (x-2)²+(y-9/2)²=25/16

donc C est un cercle de centre I(2;9/2) et de rayon r=5/4

Non,
je viens de reviser ton calcul... le centre du cercle est I(2;9/4) et non (2;9/2).

[invitea7b2cac3]

Ah... il va falloir que je le revois également

en tout cas merci à vous tous!!! cela m'a beaucoup aidée!!!
J'ai trouvé la solution. Je referais appel à vous sans problème, (en effet mon DL n'est pas prêt d'être terminé et ne s'annonce pas simple par la suite ^^) tous les conseils sont bons à prendre!

Merci une fois encore!