Problème de Maths: Fonctions

[pauliinou-x]

Bonjour, je suis une élève de première S. Nous avons un DM à faire et un des exercices me pose problème. J'aimerai que vous me veniez en aide. Merci d'avance.


Soit a un nombre réel. on dit qu'un polynôme P est factorisable par (x-a)² lorsqu'il existe un polynôme Q tel que:
P(x)=(x-a)²*Q(x)
1. Montrer que si P est factorisable par (x-a)², alors on a:
P(a)=0 et P'(a)=0

2. On suppose que P(a)=0 et on désigne pas f le polynôme tel que:
P(x)=(x-a)*f(x)
Montrer que si P'(a)=0 alors f est factorisable par (x-a)

3. En déduire que les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
- P(x) est factorisable par (x-a)²
- P(a)=P'(a)=0

4. Montrer que: P(x)= x⁴-2x³-7x²+20x-12 est factorisable par (x-2)².
Résoudre ensuite l'équation: P(x)=0
-----

[Arkangelsk]

Bonsoir,

Qu'as-tu réussi à faire ? Où bloques-tu ?

[pauliinou-x]

C'est dès la première question. je ne vois pas comment commencer ..

[Cassano]

Un produit de facteur est nul si un des facteurs est nul.

Or ici tu as P(x) = (x-a)²*Q(x). QUe vaut (x-a)² lorsque x vaut a?

[A voir en vidéo sur Futura]

[VegeTal]

Bonsoir,

tu calcules P(x=a) et tu montres que ça fait 0. tu dérives P(x) et tu calcules P'(x=a) et tu montres que ça fait 0 aussi .

[pauliinou-x]

Cassano :
Quand x vaut a : P(x)=Q(x) ?!

[Cassano]

Cassano :
Quand x vaut a : P(x)=Q(x) ?!

Eh non!! Lorsque x=a, (x-a)² = 0, donc P(x)=0*Q(x) =0

[pauliinou-x]

Oh oui, désolé j'avais pas vu... =S

Et pour P'(a) on remplace le x par a ?!
ou je dit juste que la dérivée d'un nombre est zéro ?

[Cassano]

Oh attention la, il y a une belle confusion (qui n'a au demeurant rien de beau...).

Calculer f'(a) ne consiste pas a dériver f(a), mais a dériver f(x) et à l'évaluer pour x=a...

[pauliinou-x]

P'(x)= 2*x*(x-a)
donc P'(a)= 2*a*(a-a)=0

[lapin savant]

Salut,
attention aux dérivées !! Ici P(x) = (x-a)² Q(x) se dérive comme un poduit u.v (Q , en tant que fonction de x, a le droit d'être dérivé aussi ).

De plus ((x-a)²)' = 2(x-a).......((x-a)'=1 !)

[pauliinou-x]

Euh .. je n'y comprend plus rien :

P(x)=(x-a)²*Q(x)
P'(x)=[2*1*(x-a)²]*Q(x)+[(x-a)²]*Q'(x)

Donc P'(a)=(2*(a-a)²)*Q(a)+[(a-a)²]*Q'(a)
=2*0*Q(a)+(0*Q(a))
= 0

[lapin savant]

Euh .. je n'y comprend plus rien :

P(x)=(x-a)²*Q(x)
P'(x)=[2*1*(x-a)²]*Q(x)+[(x-a)²]*Q'(x)

Donc P'(a)=(2*(a-a)²)*Q(a)+[(a-a)²]*Q'(a)
=2*0*Q(a)+(0*Q(a))
= 0

Oui, c'est juste et ça tombe bien, c'est ce que tu cherches à montrer !

[pauliinou-x]

2. On suppose que P(a)=0 et on désigne pas f le polynôme tel que:
P(x)=(x-a)*f(x)
Montrer que si P'(a)=0 alors f est factorisable par (x-a)


Comment faire ?!
Aidez-moi s'il vous plaît

[lapin savant]

Commence par exprimer P '(x), puis calcule P '(a).
Si P '(a) = 0, qu'en déduis-tu pour f ?

[pauliinou-x]

P'(x)=1*f(x)+(x-a)*f '(x)

P'(a)=0*f(a)+(a-a)*f ' (x)

Mais après je vois pas comment faire ?!

[lapin savant]

P'(x)=1*f(x)+(x-a)*f '(x)

Ok.


Attention !!

P'(a)=0*f(a)+(a-a)*f ' (x)

Ceci est faux ! (ton 1 s'est subitement changé en 0...).

P '(a) = f(a) + (a-a)f '(a) = f(a).
Donc si P '(a)=0, alors f(a)=? (réponse simple...).

[pauliinou-x]

Pourquoi P '(a) = f(a) + (a-a)f '(a) = f(a). ??


Donc si P '(a)=0, alors f(a)=0
Alors f est factorisable par (x-a)

[lapin savant]

Pourquoi P '(a) = f(a) + (a-a)f '(a) = f(a). ??

P (x) = (x-a) f(x)

P '(x) = (x-a)' f(x) + (x-a) f '(x) = f(x) + (x-a) f '(x)

Maintenant pour x=a : P '(a) = f(a) + (a-a) f '(a) = f (a)

Donc si P '(a)=0, alors f(a)=0
Alors f est factorisable par (x-a)

Ok.

[pauliinou-x]

Pour la 3.
En déduire que les deux propriétés suivantes sont équivalentes
p(x) est factorisable par (x-a)²
p(a)=p'(a)=0

[lapin savant]

Oui, cet ensemble de questions te sensibilise à la logique. Petite explication avant de te donner une piste :
pour montrer que 2 propositions A et B sont équivalentes (on note A <=> B), appelé aussi condition nécessaire et suffisante, on procède souvent par double implication (comme ici).

1) On suppose que A est vraie et on en déduit B, on montre ainsi que A => B.

2) On suppose que B est vraie et on en déduit A, on montre ainsi que B => A.


Dans ton cas :
1) On a montré que si P(x) était factorisable par (x-a)², alors P(a) = P '(a) = 0. (A => B)

2) On a montré que si P(a)=P '(a)=0 et que P s'écrit P(x) = (x-a) f(x), alors f était factorisable par (x-a)...il te manque une ligne pour conclure que P est factorisable par (x-a)².
Ainsi tu auras montré que B=>A.

Et finalement tu auras montré l'équivalence