Produits scalaires

[invite30a49b62]

Bonsoir,

J'ai un exercice de maths, que je n'arrive pas à démarrer .. je me tourne donc vers vous pour m'éclairer.

Soit A et B deux points du plan P et I le milieu du segment [AB], on définit l'application :
f :
P --> P
M --> MA.MB

On se propose de déterminer l'ensemble des points M du plan tels que MA.MB=k, appelé ligne de niveau k et noté Lk.

1) Déterminer la nature de L0
2) Démontrer que, pour tout point M du plan : f(M)=MI²-(AB²/4)
3) On suppose que AB=4
En déduire, suivant la valeur du réel k, la nature de la ligne Lk de niveau k.


Je vous remercie d'avance pour votre aide =)
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[invite803a8ebc]

Bonjour,

[hhh86]

Bonsoir,

J'ai un exercice de maths, que je n'arrive pas à démarrer .. je me tourne donc vers vous pour m'éclairer.

Soit A et B deux points du plan P et I le milieu du segment [AB], on définit l'application :
f :
P --> P
M --> MA.MB

On se propose de déterminer l'ensemble des points M du plan tels que MA.MB=k, appelé ligne de niveau k et noté Lk.

1) Déterminer la nature de L0
2) Démontrer que, pour tout point M du plan : f(M)=MI²-(AB²/4)
3) On suppose que AB=4
En déduire, suivant la valeur du réel k, la nature de la ligne Lk de niveau k.


Je vous remercie d'avance pour votre aide =)

b/
MA.MB=(MI+IA).(MI+IB)
<==>MA.MB=MI²+MI.IB+MI.IA+IA.I B
<==>MA.MB=MI²+MI.(IA+IB)+IA. IB
Or I est le milieu du segment [AB] donc IA+IB=0
Donc MA.MB=MI²+IA.IB
IA+IB=0 donc IA=-IB
IA et IB sont colinéaires et de sens contraire donc IA.IB=-||IA||*||IB||
Comme I est le milieu de [AB], alors ||IA||=||AB||/2 et ||IB||=||AB||/2
Donc ||IA||*||IB||=||AB||²/4
Donc MA.MB=||MI||²-||AB||²/4
Donc f(M)=||MI||²-||AB||²/4

[invite30a49b62]

Excusez moi matthieu174 mais je ne vois vraiment pas à quoi peut être égal L0 ..
Pour la seconde question, j'ai trouvé la réponse entre temps mais merci quand même hhh86 =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite803a8ebc]

re.
bon d'accord, c'est important à retenir, tu vas surement refaire plusieurs exo dessus: L0 est le cercle de diamètre [AB], car quand le produit scalaire est nul, les droites MA et MB sont perpendiculaires (en M), or, on sait que: "si un point F se trouve sur un cercle de diamètre [AB], alors le triangle ABF est rectangle en F (donc AF et BF sont perpendiculaire en F)" ici on remplace F par M

[invite30a49b62]

Ah oui c'est plus clair maintenant ... merci beaucoup =)

[invite30a49b62]

Bonjour,
On me demande ensuite de construire les lignes de niveau L-3; L0 et L12.
J'ai essayé en faisant MI²-llABll²/4=-3 et en remplaçant AB par 4, mais je ne pense pas que ce soit ça ..

[invite30a49b62]

C'est bon je pense avoir trouvé .. il faut remplacer k dans MI²=4+k ?

[invite803a8ebc]

si on ne vous donne pas de nouvelles indications sur AB, alors en effet vous prenez AB=4 donc oui MI²=4+k pour L-3