Démonstration

[inviteb517eda2]

Bonsoir a tous ,

il faut que je démontre que pour tout réél x , on a 1/4x² > (supérieur ou égal ) à x- 1 .


Comment faire ? merci
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Comment faire ?

En étudiant le signe d'un trinôme du second degré bien choisi ?

[inviteb517eda2]

Un trinôme ??

[Flyingsquirrel]

Un trinôme c'est un polynôme à trois termes comme , , ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Il existe plusieurs façons de procéder tu peut comme la dit Flyingsquirrel étudier le signe du trinôme 1 - 4x^3 + 4x² ou utiliser les intégrales ( tu dérive les deux coté jusqu'à aboutir quelque chose de vrai puis remonter par intégrale )

[inviteb517eda2]

DOnc je dois commcer par :

1/4x² - x - 1 ?

[invitebe08d051]

Pose une fonction h(x)= 1 - 4x^3 + 4x² étudie les variations de h et déduit son signe

[inviteb517eda2]

comment trouves-tu cela ?

[invitebe08d051]

On veut montrer que :
quelque soit x dans R
\left(\frac{1}{4*x^2}\right) \geq {x} - {1}
En multipliant par 4x² on obtient :
{1} \geq 4*x^3 + 4x^2

[inviteb517eda2]

Je me suis trompé quand j'ai écrit c'est (1/4)x² > x - 1

c'est un quart multiplié par x au carré

[invitebe08d051]

AH !!! dans ce cas c'est mieux il suffit alors d'étudier le signe du polynôme : P(x) = (1/4)x² -x +1

[inviteb517eda2]

C'est pour ça je me posais la question de pourquoi vous trouviez cela ? tableau de signe ?

[invitec317278e]

x²-4x+4=(x-2)² (identité remarquable et devant être remarquée...)

[inviteb517eda2]

Oui elle doit être remarqué , je comprends , mais là je sais pas comment vous l'avez trouvé ? Pouvez vous m'expliquer ?

COmment avez vous transformé le un quart ?

[invitec08a0d97]

Bonjour,

Tu pars de l'inequation que tu dois trouver.
Tu regroupes tous les termes du meme cote, ce qui te donne une inequation avec un zero d'un coté. Il te suffit donc de résoudre cette inéquation. Tu dois alors faire une étude de signe et te rendre compte que c'est vrai pour tout x réel !!!

[inviteb517eda2]

Donc j'aurais (1/4)x² - x + 1 > 0

Et je fais un tableau de signe ?

[Flyingsquirrel]

Et je fais un tableau de signe ?

Si tu veux mais il est plus simple de factoriser comme l'a fait Thorin :

et là le signe de l'expression est évident, le tableau de signe n'est pas utile.

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Note : on peut faire apparaître un carré sans mettre 1/4 en facteur :

[invite3c79707e]

A mon avis, le but est de le montrer par un tableau de signes...Actuellement, en seconde, on fait presque TOUS cette leçon en ce moment...


EDIT: en fait c'est une fonction carré donc (x/2-1)², on peut facilement trouver le sens de variation.

Uolo