Application du produit scalaire...

[nadou31]

Bonjour,

J'ai un devoir maison de maths à faire et je voudrais savoir si mes réponses sont justes.
Voici l'énoncé de cet exercice ainsi que mes réponses:

ABCD est un carré de côté x (x), I milieu de [AB]et J celui de [BC].
On note O le point d'intersection des droites (AJ) et (CI).

Le but de ce problème est de démontrer que l'angle AOI est indépendant de la valeur de x.

On se place dans le repère (A;u(vecteur);v(vecteur)) avec:
u(vecteur)=1/x AB(vecteur) et v(vecteur)=1/x AD(vecteur) .

a) Donner les coordonnées dans ce repère des points de la figure.
Pour les coordonnées de la figure, il me semble que:
A(0;0)
B(x;0)
C(x;x)
D(0;x)
I(1/2 x;0)
J(x;1/2 x) serait correct.
Je n'arrive pas à voir comment trouver ceux de O.

b) En déduire la valeur du produit scalaire CI(vecteur).JA(vecteur) ainsi que les longeurs CI et AJ.
Les coord. de CI(vecteur)et de JA(vecteurs) sont respectivement:
(-1/2 x; -x)et (-x; -1/2 x).
D'où: CI(vecteur).JA(vecteur)=x²
CI=5x/2
et JA=5x/2 .

c) A l'aide d'une autre expression du produit scalaire, donner la valeur exacte de cos(CI(vecteur).JA (vecteur)) puis de cos AOI.
Je trouve que: cos(CI(vecteur).JA(vecteur))=8/5 .
Comme AOI est un angle opposé à COJ, son cosinus a la même valeur.

d) En déduire l'arrondi au dicième de degré prés de l'angle AOI.
Il me semble que c'est 36.7°.


Merci de votre aide et de votre temps.
-----

[tuan]

a) Donner les coordonnées dans ce repère des points de la figure.
Pour les coordonnées de la figure, il me semble que:
A(0;0)
B(x;0)
C(x;x)
D(0;x)
I(1/2 x;0)
J(x;1/2 x) serait correct.
Je n'arrive pas à voir comment trouver ceux de O.

b) En déduire la valeur du produit scalaire CI(vecteur).JA(vecteur) ainsi que les longeurs CI et AJ.
Les coord. de CI(vecteur)et de JA(vecteurs) sont respectivement:
(-1/2 x; -x)et (-x; -1/2 x).
D'où: CI(vecteur).JA(vecteur)=x²
CI=5x/2
et JA=5x/2 .

c) A l'aide d'une autre expression du produit scalaire, donner la valeur exacte de cos(CI(vecteur).JA (vecteur)) puis de cos AOI.
Je trouve que: cos(CI(vecteur).JA(vecteur))=8/5 .
Comme AOI est un angle opposé à COJ, son cosinus a la même valeur.

d) En déduire l'arrondi au dicième de degré prés de l'angle AOI.
Il me semble que c'est 36.7°.

Salut,
D'abord, OK pour (a)
Pour (b), les modules sont "x.racine(5)/2" (tu as oublié la racine carrée)
Pour (c), cos > 1 : faute grave !!

Maintenant, pour calculer O je propose 2 méthodes:

la 1e: on part d'un minimum de connaissance

- je reprends (presque) ce que tu as trouvé en (b) (en gras = vecteur)
AJ = (x ; x/2) et IC = (x/2 ; x)

- Chasles => AO = AI +IO
AO est un colinéaire avec AJ, on peut écrire AO = mAJ
IO est un colinéaire avec IC, on peut écrire IO = nIC

De la relation de Chasles, on passe en coordonnées... ça donne
m.x = x/2 + n.x/2 et
m.x/2 = 0 + n.x
(2 équations à 2 inconnues m et n)
Tu résoudras pour trouver m=2/3 (et n=1/3) et AO = 2/3AJ

2e méthode: très court, mais on utilise une propriéte du centre de gravité
- trace AC pour voir que AJ et CI sont 2 médianes du triangle ABC, O est donc le centre de gravité du triangle et tu as AO = 2/3AJ

Question (c) : l'autre expression du produit scalaire est "module, fois module, fois cosinus de l'angle..."
tu déduiras le cosinus car tu connais déjà le produit scalaire (x²) et les modules (x.rac(5)/2) => cos =4/5

[nadou31]

Euh, j'avais mal calculé...mais j'ai trouvé à la fin 4/5 avec la méthode que j'ai utilisée...

Merci quand même!