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geo dans l'espace



  1. #1
    choupinette4

    geo dans l'espace


    ------

    Bonjour!

    Ci joint un pavé droit ABCDEFGH, avec AB=1, AD=2, et AE=1 . On note I le milieu de [AD].

    Déterminer la nature du triangle FIH.En déduire, grâce a un calcul du volume V(GFIH) la distance d entre le point G et le plan (FIH).

    En fait , j'ai pu trouvé que [IH]= (2)^(0,5) et [FH]=(5)^(0,5) mais je ne parviens pas à trouver la longueur [IF]...?

    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

    Merci bcp par avannce[IMG][/IMG]

    -----

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  3. #2
    luffy_60

    Re : geo dans l'espace

    Si tu as réussi a montrer que FIH était rectangle en I, il te reste plus qu'à faire un Pythagore.
    La distance du point au plan, tu as réussi ?
    dérivée sa dirige COA ^^

  4. #3
    choupinette4

    Re : geo dans l'espace

    En fait, justement nan je ne vois pas comment montrer que FIH est rectangle en I...!

  5. #4
    tuan

    Re : geo dans l'espace

    Bonsoir choupinette4,
    J'ai plusieurs méthodes pour te répondre, mais mes connaissances en géométrie correspondent-elles à ce que tu étudies en classe ?

    1) connais-tu ce théorème important : "si une droite est perpendiculaire à un plan, elle est perpendiculaire/orthogonale à toutes les droites du plan " ? (exemple : l'arête qui représente un coin de ta chambre est perpendiculaire au sol, elle est donc orthogonale à n'importe quelle droite tracée au sol)
    Application : FE est perpendiculaire à la face ADHE, donc FE est orthogonal à HI . (OK ?)

    2) de par les dimensions données, la face ADHE est un rectangle 2 unités sur 1 (2 carrés accolés), HIE est donc un triangle rectangle isocèle en I (trace EI pour mieux voir) : HI est donc perpendiculaire à EI . (OK ?)

    3) connais-tu cet autre théorème aussi important : "si une droite est perpendiculaire/orthogonale à 2 droites sécantes, elle est perpendiculaire au plan formé par ces 2 droites " ?
    Application : HI est orthogonal à FE (par (1)) et perpendiculaire à EI (par (2)) qui sont sécants en E, HI est donc perpendiculaire au plan FEI.

    De nouveau par le théorème (1), HI est perpendiculaire à FI... le triangle FIH est donc rectangle en I.

    Autre méthode, tu traces aussi EI et calcules FI dans le triangle FEI.

    Si tu veux la suite, fais signe !

  6. #5
    tuan

    Re : geo dans l'espace

    GFIH est un tétraèdre qui a 4 sommets et 4 faces triangulaires.
    Son volume est calculé à partir de l'aire d'UNE DE SES faces et de la HAUTEUR correspondante (4 possibilités donc).

    Regarde la face FGH qui est sur la face supérieure du parallélipipède... la hauteur correspondante doit être tracée depuis I et perpendiculairement vers cette face. Elle est donc // aux arêtes AE, DH, etc. (même si le pied tombe en dehors de la face FGH). Tu peux donc calculer son volume avec ces infos.

    Si maintenant, tu considères FIH comme base (dont tu peux calculer l'aire) la hauteur correspondante est la distance que tu devras chercher.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    choupinette4

    Re : geo dans l'espace

    a oui merci bcp pour ces infos.

    Du coup j'ai réussi à trouver une distance entre G et le plan (FIH) de 2/ (2^0,5 * 3^0,5)

    C'est cela?

    encore merci beaucoup

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  10. #7
    choupinette4

    Re : geo dans l'espace

    et aussi après il fallait trouver les coordonnées de K, point d'intersection de (AG) et de (FIH), et j'ai trouvé K(1/3,2/3,1/3)...
    Mais ensuite, il faut déterminer la nature de l'intersection du plan (FIH) et de la sphère de centre G passant par K. Je ne vois vraiment pas comment procéder!
    Puis-je obtenir de l'aide?

    merci!

  11. #8
    tuan

    Re : geo dans l'espace

    Citation Envoyé par choupinette4 Voir le message
    ...
    Du coup j'ai réussi à trouver une distance entre G et le plan (FIH) de 2/ (2^0,5 * 3^0,5)
    C'est cela?
    oui, ou 2/sqrt(6) ou encore sqrt(6)/3 (sqrt= racine carrée)

    Citation Envoyé par choupinette4 Voir le message
    et aussi après il fallait trouver les coordonnées de K, point d'intersection de (AG) et de (FIH), et j'ai trouvé K(1/3,2/3,1/3)...
    Mais ensuite, il faut déterminer la nature de l'intersection du plan (FIH) et de la sphère de centre G passant par K. Je ne vois vraiment pas comment procéder!
    Puis-je obtenir de l'aide?

    merci!
    Bravo, comment l'as-tu trouvé ? ... quand même pas avec les équations ??

    Pour trouver l'intersection d'une droite (AG ici) et un plan (FIH ici) il faut...
    - d'abord placer AG dans un plan disponible qu'on appelle plan auxiliaire : FGIA est ce plan car FG//IA et il contient bien AG...
    - ensuite chercher l'intersection (droite) de (FGIA) avec (FIH) : on voit déjà que dans leurs noms il y a 2 points en communs F et I... La droite d'intersection est donc FI
    - enfin, puisque FI et AG se trouvent dans le même plan auxiliaire, ils se coupent bien en K... le point recherché !

    Les triangles KAI et KGF sont semblables (Thalès) dans le rapport AI/GF = 1/2 on a donc AK = 1/3 de AG, d'où les coordonnées de K.

    Dans le calcul précédent on n'a pas déterminé la hauteur GJ du tétraèdre mais il faut comprendre que le pied J existe.
    Après, le plan FIH ayant le point K en commun avec la sphère ne peut que couper la sphère suivant un petit-cercle de centre J et de rayon JK. Si J et K étaient confondus, (FIH) serait un plan tangent en K=J. Or ce n'est pas le cas GA est trop oblique pour être la hauteur GJ.
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