[TS]Géo dans l'espace : Polynésie sept 98

[invitefc60305c]

Bonsoir.
Voila un autre exo de géométrie dans l'espace où j'ai beaucoup de mal.
Je bloque dès la d).
Merci d'avance
http://forums.futura-sciences.com/BA...eSsept1998.pdf

Soit A(0;6;0) , B(0;0;8) et C(4;0;8)

1)b) Démontrer que
(BC) et (BA) sont orthogonales
(CO) et (OA) sont orthogonales
(BC) est orthogonale au plan (OAB)

 Cliquez pour afficher

(BC) a pour vecteur directeur
(BA) a pour vecteur directeur


(CO) a pour vecteur directeur
(OA) a pour vecteur directeur


D'après théorème de Pythagore, (BC) orthogonale à (OAB) <=> CO² = CB² + OB² ce qui est le cas.

c) Déterminer le volume du tétraèdre OABC.

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Soit S la surface/l'aire du triangle OAB rectangle en O,

d) Démontrer que O,A,B,C se trouvent sur une sphère dont vous déterminerez le centre et le rayon.

2) A tout réel k de l'intervalle ]0;8[ est associé le point M(0;0;k)
Le plan qui contient M et est orthogonal à (OB) rencontre (OC), (AC), (AB) respectivement en N,P et Q.

a) Déterminer la nature du quadrilatère (MNPQ)

b) (PM) est elle orthogonale à (OB) ? Pour quelle valeur de k la driote (MP) est-elle orthogonale à (AC) ?

c) Déterminer MP² en fonction de k. Pour quelle valeur de k la distance PM est-elle minimale ?
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[invite3a8c0277]

d) J'ai cherché un point tel que les termes pour la distance au carré ne changent pas pour les 4 points.
J'ai trouvé le point (2;3;4).
Mais je sais pas peut-être qu'un systeme était possible
Je n'ai pas cherché le reste. Il faut une figure c'est mieux je pense...

[invitefc60305c]

d) J'ai trouvé comme toi, ça me rassure.
J'ai posé : BM² = CM² = OM² = AM²
avec :
BM² = x² + y² + (z-8)²
CM² = (x-4)² + y² + (z-8)²
OM² = x² + y² + z²
AM² = x² + (y+6)² + z²
Ca te fait un gros système qui se résout facilement.
D'où M(x;y;z) => M(2;3;4)

[invite3a8c0277]

2)a) Je prend les coordonnées des points M N P Q ( comme c'est des intersections) et je trouve que c'est un rectangle.

b. La premiere question. La 2eme je trouve que cela ne marche pour aucune valeur de k. ( k=0 mais il n'existe pas)

c. Je vois pas trop le sens de la question >< le plus petit c'est 0 mais il n'existe pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7005a5b]

Voila ce que j'ai de mon coté.
Pour la 1, j'utilise le produit scalaire comme anonymus, mais pour montrer que (BC) est orthogonale au plan(OBA) ta méthode du théoreme de pythagore n'est pas bonne. Prends par exemple le point S(0,4,8), ton triangle OBS est rectangle en B, mais (BS) est contenue dans le plan (OBA)!! En fait pour repondre a la question, tu devais dire que (BC) est orthoganal a (BA) et a (OB), donc (BC) est orthoganal au plan definit par (BA) et (OB) c'est a dire a (OBA)
Pour montrer que O,A,B et C sont cosphériques, ta méthode est bonne. Juste en passant j'en avait une, qui est hardue a toi de juger. Je m'inspire de la démonstration sur le centre d'un cercle circonscrit a un triangle. Je trouve le lieu des points équidistants a A,B et O(Ce lieu est une droite orthogonale au plan (OBA) et passant par le centre du cercle circonscrit au triangle ABO), puis le lieu des points equidistants a O, B et C(Ce lieu est une droite orthogonale au plan (OBC) et passant par le centre du cercle circonscrit au triangle OBC). L'intersection de ces deux lieux donne le centre G de la sphère.Le truc est de determiner les centres des cercles circonscrits au triangles OAB et OBC; ces centres se determinent facilement et j'obtiens au finale le centre de la sphère G(2,3,4)
Le quadrilatère MNPQ est bien un rectangle; pour cela il suffit de determiner les coordonnées de N,P et Q en fonction de k(ceci en determinant des equations du plan contenant M,et des equations parametriques de (OC),(AC) et (AB)) puis de comparer les vecteurs MN et QP, et calculer le produit scalaire MN.PN
Pour la question 2 b), on calcule le produit scalaire PM.OB
Quant a la valeur de k on calcule le produit scalaire PM.AC en fonction de k: mais moi je trouve une valeur de k negative. or k>0. donc k n'existe pas
Pareil pour la 2 c)

[invite35452583]

Bonjour,
commençons par une remarque sur la rédaction du 1)b) dernière ligne l'équivalence est de trop (ou nécessiterait de le montrer dans ce cas précis ce qui alourdit inutilement la résolution du problème).

Pour le 1)d), vous aimez les calculs décidément.
On a vu :
(BC) et (BA) sont orthogonales
(CO) et (OA) sont orthogonales
donc B et O sont sur la sphère de diamètre [AC], O, A, B, C sont donc sur la sphère de centre le milieu de [AB] (G : (2,3,4)) et de rayon AC/2=

2)a)
toujours sans calcul,
M : (0,0,k) est sur le segment ]OB[
(BC) est orthogonal à (OB) donc parallèle à , d'où
par projection centrale de centre O sur (MN) est parallèle à (BC)
par projection centrale de centre A sur (QP) est parallèle à (BC)
(OA) est orthogonal à (OB) donc parallèle à , d'où
par projection centrale de centre B sur (MQ) est parallèle à (OA)
par projection centrale de centre C sur (NP) est parallèle à (OA)
En outre (BC) est orthogonal au plan (OAB) donc (BC) est orthogonal à (AB).
Le quadrilatère MNQP est donc un rectangle.

(PM) orthogonale à (OB) car l'est.

Pour la fin, on projette orthogonalement M, P et C sur le plan Pl parallèle à passant par O, (on projecte donc parallèlement à (OB)=(OM))
M se projette en O, C et P se projettent en C' et P'.
Comme (BC) et (MP) sont parallèles à Pl, on a
P' est aligné avec A et C'. Et, par projection parallèle sur des droites successives, on a :

Comme (MP) a été projeté orthogonalement sur un plan qui lui est parallèle, on a équivalence entre (MP) orthogonal à (AC) et (OP') orthogonal à (AC').
Ceci se produit quand P' est situé sur le pied de la hauteur issu de O au triangle OAC', on a
D'où et

MP est minimale quand OP' l'est, ce qui se produit quand (OP') est orthogonal à (AC') càd quand [OP'] est la hauteur de OAC' isu de O. Par égalité des aires, on a min(MP)xAC'=4x6=24 donc
Calcul de MP², on note P" le pied de la hauteur sus-évoqué, on calcule P'P" en fonction de k, puis par le théorème de Pythagore appliqué au triangle OP'P", on calcule OP' et par là même MP.