Résolution d'équation differentielle

[invite2249c0ac]

Bonjour,
Voilà j'ai quelques difficultés sur un exercice de math si on pourrait m'aider

Enoncé :
On considère l'équation différentielle
y'-ky=x (E) avec la condition initiale y(0)=1
k étant un réel que l'on choisit (j'ai choisi k=2)

Question :
1) Résoudre l'équation y'=ky (E₀)

(E₀) f(x)=Ke^kx (où K appartient aux réels)

2) Déterminer une solution particuliere h de l'équation (E)


3) Montrer que y solution de (E) est équivalent à (y-h) est solution de (E₀)



4) En déduire les solutions de (E) puis la solution qui vérifie la condition initiale.




Voilà j'ai deja des souci a la seconde question à cause du x dans l'équa-diff....

Pouvez vous m'aider ?
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[Arkangelsk]

As-tu une idée pour la solution particulière ?

[invite2249c0ac]

ben deja pour le petit 1 je pense mettre directement :
(E₀) f(x)=Ke^2x (où K appartient aux réels)


Ensuite pour la solution particulière :
h'(x)=2h(x)+x

Donc h(x)=e^2x-(1/2)x

??

[Arkangelsk]

ben deja pour le petit 1 je pense mettre directement :
(E₀) f(x)=Ke^2x (où K appartient aux réels)


Ensuite pour la solution particulière :
h'(x)=2h(x)+x

Donc h(x)=e^2x-(1/2)x

??

Attention : comment passes-tu de à ? est bien une solution particulière qui doit vérifier . Il existe une (au moins) méthode pour déterminer une solution particulière, mais elle n'est pas au programme de , il me semble. Donc, tu dois la "deviner" ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2249c0ac]

A ben la je devine pas du tout ^^.pourrais-tu m'aider ?

[Arkangelsk]

A ben la je devine pas du tout ^^.pourrais-tu m'aider ?

Bon, je vais t'aider à deviner. Le but du jeu : trouver une fonction de qui te donne .

Essayons pour commencer . Je laisse (tu remplaceras après par si tu veux).

Que te donne ?

[invite2249c0ac]

h'(x)-kh(x)=(-1/k)-x

[Arkangelsk]

h'(x)-kh(x)=(-1/k)-x

Il y a une petite erreur ...

[invite2249c0ac]

Ben sachant que k=2 :

h'(x)-kh(x)=((-1/2)x)'-2((-1/2)x)
=(-1/2)-x

Je vois pas l'érreur ^^

[Arkangelsk]

On laisse le , OK ?

Ben sachant que k=2 :

h'(x)-kh(x)=((-1/2)x)'-2((-1/2)x)
=(-1/2)-x

Je vois pas l'érreur ^^

Elle est là :

Ben sachant que k=2 :

h'(x)-kh(x)=((-1/2)x)'-2((-1/2)x)
=(-1/2)+x

Je vois pas l'érreur ^^

Maintenant, vois-tu ?

[invite2249c0ac]

A ouii effectivement ^^ excuse moi ^^...

Mais je ne vois pas ou on en vient.. ?

J'ai h'(x)-kh(x)=-1/2 +x
Or il nous faut h'(x)-kh(x)=x ??

[Arkangelsk]

A ouii effectivement ^^ excuse moi ^^...

Mais je ne vois pas ou on en vient.. ?

J'ai h'(x)-kh(x)=-1/2 +x
Or il nous faut h'(x)-kh(x)=x ??

Hé, je te mets sur la voie... Tu ne pensais quand même pas que j'allais te donner la solution brute de décoffrage mais ...

Que remarques-tu ?

A part : "Eh bien, on ne tombe pas sur la bonne expression" (bien entendu ).

[invite2249c0ac]

ben ya -1/k en trop lol je sais pas...

Il faudrait que h'(x)=0 sinon

[Arkangelsk]

ben ya -1/k en trop lol je sais pas...

Il faudrait que h'(x)=0 sinon

Tu te rapproches, mais cela ne peut être bon. Si , alors et donc . L'idée du premier calcul que je t'ai proposé est de montrer que ne diffère de la solution que d'une constante additive .

Essaie maintenant , où est une constante.

[invite2249c0ac]

Si h(x) = -(x/k)+m

Alors :
h'(x)-kh(x)=(-1/k)+x-km

k=2
h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x-(2m)
Si m=-1/4
h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x+(1/2)=x

C'est bon ??
Donc h(x)=-(x/k)-(1/4)

[Arkangelsk]

Si h(x) = -(x/k)+m

Alors :
h'(x)-kh(x)=(-1/k)+x-km

k=2
h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x-(2m)
Si m=-1/4
h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x+(1/2)=x

C'est bon ??
Donc h(x)=-(x/k)-(1/4)

C'est bon, tu as compris.

Mis à part, pour la forme, il faut que tu choisisse une bonne fois pour toute : sois tu prends (je te le conseille), soit (et par conséquent on ne doit plus voir ).

Si tu fais un mélange des deux (regarde ta dernière ligne), on se perd complètement. Je te suggère donc de garder et d'oublier ton hypothèse . Tu pourras remplacer par ou à la fin si ça te chante.

[invite2249c0ac]

merci de tes réponses je pense le finir tout seul ..

a+

[Arkangelsk]

merci de tes réponses je pense le finir tout seul ..

a+

Après, je pourrais d'indiquer la méthode "sans deviner" la solution particulière, mais elle est plus calculatoire (et hors programme, je crois ).