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Résolution d'équation differentielle



  1. #1
    mickadu66

    Résolution d'équation differentielle


    ------

    Bonjour,
    Voilà j'ai quelques difficultés sur un exercice de math si on pourrait m'aider

    Enoncé :
    On considère l'équation différentielle
    y'-ky=x (E) avec la condition initiale y(0)=1
    k étant un réel que l'on choisit (j'ai choisi k=2)

    Question :
    1) Résoudre l'équation y'=ky (E0)

    (E0) f(x)=Kekx (où K appartient aux réels)

    2) Déterminer une solution particuliere h de l'équation (E)


    3) Montrer que y solution de (E) est équivalent à (y-h) est solution de (E0)



    4) En déduire les solutions de (E) puis la solution qui vérifie la condition initiale.




    Voilà j'ai deja des souci a la seconde question à cause du x dans l'équa-diff....

    Pouvez vous m'aider ?

    -----

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  4. #2
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    As-tu une idée pour la solution particulière ?

  5. #3
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    ben deja pour le petit 1 je pense mettre directement :
    (E0) f(x)=Ke2x (où K appartient aux réels)


    Ensuite pour la solution particulière :
    h'(x)=2h(x)+x

    Donc h(x)=e2x-(1/2)x

    ??

  6. #4
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    ben deja pour le petit 1 je pense mettre directement :
    (E0) f(x)=Ke2x (où K appartient aux réels)


    Ensuite pour la solution particulière :
    h'(x)=2h(x)+x

    Donc h(x)=e2x-(1/2)x

    ??
    Attention : comment passes-tu de à ? est bien une solution particulière qui doit vérifier . Il existe une (au moins) méthode pour déterminer une solution particulière, mais elle n'est pas au programme de , il me semble. Donc, tu dois la "deviner" ...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    A ben la je devine pas du tout ^^.pourrais-tu m'aider ?

  9. #6
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    A ben la je devine pas du tout ^^.pourrais-tu m'aider ?
    Bon, je vais t'aider à deviner. Le but du jeu : trouver une fonction de qui te donne .

    Essayons pour commencer . Je laisse (tu remplaceras après par si tu veux).

    Que te donne ?

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  11. #7
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    h'(x)-kh(x)=(-1/k)-x

  12. #8
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    h'(x)-kh(x)=(-1/k)-x
    Il y a une petite erreur ...

  13. #9
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Ben sachant que k=2 :

    h'(x)-kh(x)=((-1/2)x)'-2((-1/2)x)
    =(-1/2)-x

    Je vois pas l'érreur ^^

  14. #10
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    On laisse le , OK ?

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    Ben sachant que k=2 :

    h'(x)-kh(x)=((-1/2)x)'-2((-1/2)x)
    =(-1/2)-x

    Je vois pas l'érreur ^^
    Elle est là :


    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    Ben sachant que k=2 :

    h'(x)-kh(x)=((-1/2)x)'-2((-1/2)x)
    =(-1/2)+x

    Je vois pas l'érreur ^^
    Maintenant, vois-tu ?

  15. #11
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    A ouii effectivement ^^ excuse moi ^^...

    Mais je ne vois pas ou on en vient.. ?

    J'ai h'(x)-kh(x)=-1/2 +x
    Or il nous faut h'(x)-kh(x)=x ??

  16. #12
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    A ouii effectivement ^^ excuse moi ^^...

    Mais je ne vois pas ou on en vient.. ?

    J'ai h'(x)-kh(x)=-1/2 +x
    Or il nous faut h'(x)-kh(x)=x ??
    Hé, je te mets sur la voie... Tu ne pensais quand même pas que j'allais te donner la solution brute de décoffrage mais ...

    Que remarques-tu ?

    A part : "Eh bien, on ne tombe pas sur la bonne expression" (bien entendu ).

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  18. #13
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    ben ya -1/k en trop lol je sais pas...

    Il faudrait que h'(x)=0 sinon

  19. #14
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    ben ya -1/k en trop lol je sais pas...

    Il faudrait que h'(x)=0 sinon
    Tu te rapproches, mais cela ne peut être bon. Si , alors et donc . L'idée du premier calcul que je t'ai proposé est de montrer que ne diffère de la solution que d'une constante additive .

    Essaie maintenant , où est une constante.

  20. #15
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Si h(x) = -(x/k)+m

    Alors :
    h'(x)-kh(x)=(-1/k)+x-km

    k=2
    h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x-(2m)
    Si m=-1/4
    h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x+(1/2)=x

    C'est bon ??
    Donc h(x)=-(x/k)-(1/4)

  21. #16
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    Si h(x) = -(x/k)+m

    Alors :
    h'(x)-kh(x)=(-1/k)+x-km

    k=2
    h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x-(2m)
    Si m=-1/4
    h'(x)-kh(x)=(-1/2)+x+(1/2)=x

    C'est bon ??
    Donc h(x)=-(x/k)-(1/4)
    C'est bon, tu as compris.

    Mis à part, pour la forme, il faut que tu choisisse une bonne fois pour toute : sois tu prends (je te le conseille), soit (et par conséquent on ne doit plus voir ).

    Si tu fais un mélange des deux (regarde ta dernière ligne), on se perd complètement. Je te suggère donc de garder et d'oublier ton hypothèse . Tu pourras remplacer par ou à la fin si ça te chante.

  22. #17
    mickadu66

    Re : Résolution d'équation differentielle

    merci de tes réponses je pense le finir tout seul ..

    a+

  23. #18
    Arkangelsk

    Re : Résolution d'équation differentielle

    Citation Envoyé par mickadu66 Voir le message
    merci de tes réponses je pense le finir tout seul ..

    a+

    Après, je pourrais d'indiquer la méthode "sans deviner" la solution particulière, mais elle est plus calculatoire (et hors programme, je crois ).

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