[TS+] Complexes et configuration de points

**mx6** · 05/04/2009, 10h16

Bonjour,

Voici l'énoncé au complet :

Déterminer les nombres $\text{[math]}$ tel que :
1) $\text{[math]}$ soient alignés.
2) $\text{[math]}$ forment un triangle rectangle.
3) $\text{[math]}$ soient alignés.

J'ai commencé par faire la première, et j'ai trouvé un résultat pas jolie, je voudrais donc être corrigé.

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ sont alignés. Si $\text{[math]}$ imaginaire pur non car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ seront des réels.
Etudions, les autres cas. Si $\text{[math]}$ sont alignés, alors il existe une homothétie de rapport $\text{[math]}$ , et de l'un de ces $\text{[math]}$ centres $\text{[math]}$ . On choisit $\text{[math]}$ comme centre.
Alors :
$\text{[math]}$ . On a $\text{[math]}$ un réel, donc $\text{[math]}$ aussi.
Par suite, l'ensemble des points $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est alignés sont l'ensemble des réels.

Si c'est juste, je m'attaque au deuxième !

**Romain-des-Bois** · 05/04/2009, 11h02

Bonjour,

Envoyé par mx6

[I]Déterminer les nombres $\text{[math]}$ tel que :
1) $\text{[math]}$ soient alignés.

Etudions, les autres cas. Si $\text{[math]}$ sont alignés, alors il existe une homothétie de rapport $\text{[math]}$ , et de l'un de ces $\text{[math]}$ centres $\text{[math]}$ . On choisit $\text{[math]}$ comme centre.
Alors :
$\text{[math]}$ .

Ca m'a l'air bon, même si ça manque un peu de rigueur. Par exemple, pour simplifier, il faut avoir $\text{[math]}$ .

EDIT : peut-être que quand tu dis "étudions les autres cas", tu supposes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Si c'est le cas... OK !

**JAYJAY38** · 05/04/2009, 11h03

Envoyé par mx6

Bonjour,

Voici l'énoncé au complet :

Déterminer les nombres $\text{[math]}$ tel que :
1) $\text{[math]}$ soient alignés.
2) $\text{[math]}$ forment un triangle rectangle.
3) $\text{[math]}$ soient alignés.

J'ai commencé par faire la première, et j'ai trouvé un résultat pas jolie, je voudrais donc être corrigé.

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ sont alignés. Si $\text{[math]}$ imaginaire pur non car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ seront des réels.
Etudions, les autres cas. Si $\text{[math]}$ sont alignés, alors il existe une homothétie de rapport $\text{[math]}$ , et de l'un de ces $\text{[math]}$ centres $\text{[math]}$ . On choisit $\text{[math]}$ comme centre.
Alors :
$\text{[math]}$ . On a $\text{[math]}$ un réel, donc $\text{[math]}$ aussi.
Par suite, l'ensemble des points $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est alignés sont l'ensemble des réels.

Si c'est juste, je m'attaque au deuxième !

Bonjour,

Je ne comprends cette phrase : Si $\text{[math]}$ imaginaire pur non car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ seront des réels.

Tu poses $\text{[math]}$ , tu calcules $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

S'ils sont alignés ils vérifient la même équation de droite.

**mx6** · 05/04/2009, 11h07

Envoyé par JAYJAY38

Bonjour,

Je ne comprends cette phrase : Si $\text{[math]}$ imaginaire pur non car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ seront des réels.

Tu poses $\text{[math]}$ , tu calcules $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

S'ils sont alignés ils vérifient la même équation de droite.

Si $\text{[math]}$ imaginaire pur, c'est à dire il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui sont des réels. Or la droite passant par deux réels purs, ne peut pas passer par un imaginaire pur, sauf s'il est nul.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Romain-des-Bois** · 05/04/2009, 11h11

Envoyé par JAYJAY38

Bonjour,

Je ne comprends cette phrase : Si $\text{[math]}$ imaginaire pur non car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ seront des réels.

Effectivement $\text{[math]}$ est un réel, mais pas $\text{[math]}$ (je me suis fait avoir car dans l'énoncé, il y a $\text{[math]}$ ), mais la conclusion est la même :
On peut supposer $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas confondus
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont imaginaires purs et $\text{[math]}$ est réel (non-nul), ils ne peuvent être alignés.

**Romain-des-Bois** · 05/04/2009, 11h14

Envoyé par mx6

$\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Hmm...

**JAYJAY38** · 05/04/2009, 11h15

Envoyé par mx6

Si $\text{[math]}$ imaginaire pur, c'est à dire il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui sont des réels. Or la droite passant par deux réels purs, ne peut pas passer par un imaginaire pur, sauf s'il est nul.

Un petit rappel.

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**mx6** · 05/04/2009, 11h20

Envoyé par Romain-des-Bois

Hmm...

Lol oui oui oui erreur grave

De plus, je ne sais pas pourquoi j'ai travaillé avec $\text{[math]}$ à la place de $\text{[math]}$

Mais avec la même idée, je viens de vérifier, ça marche

Je passe au next !

Edit: Le problème du 2, je ne sais pas en quel point le triangle est rectangle, ca complique les choses

**mx6** · 05/04/2009, 11h41

Je ne sais pas comment répondre, sans disjonction de cas :
Nous allons supposer qu'il est rectangle en $\text{[math]}$ :
Alors (d'après formule de rotation d'angle $\text{[math]}$ :
On a pour tout $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ (identité remarquable : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Si il est rectangle en $\text{[math]}$ alors :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Si il est rectangle en $\text{[math]}$ alors :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Par suite, $\text{[math]}$ est rectangle si et seulement si :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$

Si vous pouvez jeter un coup d'œil ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...nsemble-u.html

**JAYJAY38** · 05/04/2009, 11h46

Envoyé par mx6

Bonjour,

Voici l'énoncé au complet :

[I]Déterminer les nombres $\text{[math]}$ tel que :
2) $\text{[math]}$ forment un triangle rectangle.

Si c'est juste, je m'attaque au deuxième !

Tu peux essayer de calculer les distances et tu utilises Phythagore.

**mx6** · 05/04/2009, 11h51

Oui, j'y avais pensé aussi, mais celle là plus rapide à mon avis.

**Flyingsquirrel** · 05/04/2009, 11h58

Envoyé par mx6

Par suite, $\text{[math]}$ est rectangle si et seulement si :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$

Il manque des solutions. Par exemple celle avec $\text{[math]}$ .

**mx6** · 05/04/2009, 12h02

Je vois ce que tu veux dire, j'ai envisagé que les rotations de sens directs, pas indirects ?

**Flyingsquirrel** · 05/04/2009, 12h04

Envoyé par mx6

j'ai envisagé que les rotations de sens directs, pas indirects ?

Oui ! $\text{[math]}$

**mx6** · 05/04/2009, 12h30

Les solutions manquantes sont $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

invite6db5b418 · 05/04/2009, 12h47

Je dis peut-être une bêtise, mais si tu fais la rotation d'angle 90°, tu conserves les longueurs, autrement dit tu ne regardes que les triangles isocèles rectangles, non ? ça limite largement les cas.

Il me semble qu'il faut utiliser soit Pythagore, soit le produit scalaire, soit les similitudes (directes et indirectes, vu qu'elles conservent les angles géométriques).

A moins que quelque chose ne m'ait échappé^^

invite2220c077 · 05/04/2009, 13h06

Salut,

Pour le 1)

Les points associés aux affixes $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ sont alignés si et seulement si il existe un réel $\text{[math]}$ tel que

$\text{[math]}$

ce qui équivaut à

$\text{[math]}$

On en tire alors $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ non nul (en supposant les points non confondus ..).

invite2220c077 · 05/04/2009, 13h13

Attends, c'est $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ?

invite2220c077 · 05/04/2009, 13h18

Bon, en lisant les messages, apparemment c'est $\text{[math]}$ ... Pas de soucis, on reprend ma méthode et on est amené à résoudre :

$\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ non nul.

**mimo13** · 05/04/2009, 13h38

Bonjour
Pour la première je ne suis pas tout a fait d'accord sauf que voivi mon raisonnement :
$\text{[math]}$ sont alignés si et seulement si $\text{[math]}$

**mimo13** · 05/04/2009, 14h01

Dsl pour avoir poser 2 post j'avais un problème de connexion voici la suite de mon raisonnement:
Le cas de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ seront étudier séparément
En simplifiant par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ On obtient:
$\text{[math]}$ En simplifiant par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ On obtient $\text{[math]}$ c'est à dire que $\text{[math]}$
Et on a $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$
On pose $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$
Sa donne $\text{[math]}$
Après simplification on a:
$\text{[math]}$
Donc c'est l'ensemble des réels union la droite d'équation $\text{[math]}$

**mx6** · 05/04/2009, 15h07

C'est $\text{[math]}$

Envoyé par -Zweig-

Salut,

Pour le 1)

Les points associés aux affixes $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ sont alignés si et seulement si il existe un réel $\text{[math]}$ tel que

$\text{[math]}$

Envoyé par mimo13

$\text{[math]}$ sont alignés si et seulement si $\text{[math]}$

Vos réponses sont jolis, mais vous sortez d'ou ces formules ? J'attend un minimum d'explication, vous n'avez pas trouver le même résultat, donc si vous expliquer les propriétés que vous avez utiliser, on pourra trancher.

**JAYJAY38** · 05/04/2009, 15h18

Envoyé par -Zweig-

Attends, c'est $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ?

Bonjour,

c'est $\text{[math]}$

invite6db5b418 · 05/04/2009, 16h35

Envoyé par mx6

Vos réponses sont jolis, mais vous sortez d'ou ces formules ? J'attend un minimum d'explication, vous n'avez pas trouver le même résultat, donc si vous expliquer les propriétés que vous avez utiliser, on pourra trancher.

Les deux formules se trouvent très facilement en partant de deux choses :
z, z^2 et z^4 alignés $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$

D'où les deux formules (chacune avec un des deux angles possibles).

invite2220c077 · 05/04/2009, 16h51

La mienne, c'est une conséquence directe de ton cours :

M(z) € (AB) <=> (z-a)/(b-a) € R <=> (z-a)/(b-a) = t <=> z = (1-t)a + tb

**mimo13** · 05/04/2009, 23h50

Envoyé par mx6

Vos réponses sont jolis, mais vous sortez d'où ces formules ? J'attend un minimum d'explication, vous n'avez pas trouver le même résultat, donc si vous expliquer les propriétés que vous avez utiliser, on pourra trancher.

Désolé mais a force d'utiliser cette formule je la considère comme une propriété

en terminal sinon pour la démonstration tu peut voir le post de henrax je crois qu'il y a une lacune dans ton raisonnement que je n'arrive pas pour l'instant à déceler

la droite d'équation x=\frac{-1}{2} est pourtant vrai tu peut essayer avec quelques valeurs sinon si tu trouve un problème dans mon raisonnement il sera le bienvenue

invite6db5b418 · 06/04/2009, 08h59

Envoyé par -Zweig-

Salut,

Pour le 1)

Les points associés aux affixes $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ sont alignés si et seulement si il existe un réel $\text{[math]}$ tel que

$\text{[math]}$

ce qui équivaut à

$\text{[math]}$

On en tire alors $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ non nul (en supposant les points non confondus ..).

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$

Je pense que l'erreur vient de la factorisation incorrecte...

**mx6** · 06/04/2009, 09h00

Non l'erreur, c'était de laisser t, t peut décrire tout R, donc comme l'a fait mimo, au lieu de dire que ce rapport est égale à t, fallait tout simplement dire, il appartient à R.

invite6db5b418 · 06/04/2009, 09h08

Envoyé par mx6

Non l'erreur, c'était de laisser t, t peut décrire tout R, donc comme l'a fait mimo, au lieu de dire que ce rapport est égale à t, fallait tout simplement dire, il appartient à R.

Ben on peut très bien faire tout le raisonnement de mimo en remplaçant les " $\text{[math]}$ " par des " $\text{[math]}$ ", ça ne pose aucun problème, et on arrive à la même conclusion...
C'est une juste un choix de mise en forme, mais ça ne change rien...

**mx6** · 06/04/2009, 09h12

Le problème quand tu laisses t, t'as tendence à exprimer ton résultat en fonction de t. Donc vaut mieux éviter ça, puis pourquoi donc introduire une nouvelle variable ?

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