Bonjour,
Alors, j'ai la fonction x->ln(1+x)/x.
Sa dérivée donne 1/(x(1+x)) - ln(1+x)/(x^2).
Je trouve que cette dérivée est toujours positive, mais lorsque je trace la courbe sur ma calculatrice, la fonction est décroissante.
La dérivée n'est-elle pas toujours positive ?
trace la fonction de la dérivée et regarde si elle est bien positive !
École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale
Je n'arrive justement pas à la tracer, ma calculatrice m'affiche un problème de définition.
Personne d'autre pour m'aider ?
Bonjour,Ma machine me dit que cette dérivée est toujours négative, ce qui est facile à vérifier pour -1<x<0.Envoyé par Ecapsorea
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Bonsoir à tous,
la dérivée est bien toujours négative, donc la fonction décroissante.
Merci pour vos réponses, j'ai trouvé où était mon erreur, une erreur d'innatention, j'ai écris que (1^2)=2
J'ai encore une petite question, comment trouver la limite quand x tend vers (-1)+ de (ln(1+x))/x ? Les limites en (0)-, (0)+ et +infini ne m'ont pas poser de problèmes, mais celle-ci je ne vois pas comment m'en sortir.
Bonsoir,
cette forme n'est pas indeternimée.
Posons y = x+1. Donc pour
Ah oui effectivement, et bien merci beaucoup !
Il me reste encore un petit soucis, il faut que je détermine les limites en 0+ et 0- de 1/(x(1+x)) - ln(1+x)/(x^2)
Le premier terme me donne +infini dans un cas et -infini dans l'autre cas mais je bloque sur le deuxième terme, j'ai à chaque fois une forme indéterminée de la forme 0/0 ...
Comment puis-je résoudre cela ?
Ma calculatrice me dit qu'en 0 cette limite vaut -1/2, mais je n'arrive pas à la trouver à la main, il faudrait que je trouve que la limite en 0- et en 0+ sont égales.
1)juste pour savoir comment mais le ç ne va pas te permettre de conclure:
ln(1+x)/x) tend vers 1 en 0 (à connaitre!!) donc:
ln(1+x)/(x^2)=(ln(1+x)/x)*(1/x) tend ver l'infini*signe(x)
2)Sinon:
1/f'(x)=1/(x(1+x)) - ln(1+x)/(x^2)=-1/(1+x) -[ ln(1+x)/x-1]/x
donc: f'(x)=-1/(1+x) -[ f(x)-f(0)]/[x-0] par prolongement en 0
si l'exercice admet que f est dérivable en 0+ et en 0- (sinon je n saurai la démontrer que avec les développement limité) alors:
f'(0-)=-1-f'(0-) ==> f'(0-)=-1/2
f'(0+)=-1-f'(0+) ==> f'(0+)=-1/2
Si je trouve des idée pour la démontrer sans développements limités, que vous n'avez pas encore vus, je te dirais!!
Jne sais pas si l'énoncé admet que f' est continue ou pas? vous avez fait les développement limités?
Merci beaucoup pour ta réponse.
Nous n'avons pas encore vu les développements limités, ta manière de résoudre le problème est en accord avec l'énoncé, mais il y a quelque chose que je ne comprends pas:
On a f'(x)=-1/(1+x) -[ f(x)-f(0)]/[x-0] (1) là je suis d'accord.
On obtient donc f'(0-)=-1-f'(0-) ==> f'(0-)=-1/2 (2), je comprends le raisonnement, mais il y a quelque chose qui me dérange, c'est le fait que dans (1) on ait 0 puis on passe à (2) comme si on avait 0-.
J'explique plus clairement, d'après (1) on en déduit que
f'(0-) = -1 - [ f(x)-f(0)]/[x-0], mais ce que j'ai mis en gras est égal à f'(0) et non f'(0-) non ?
L'énoncé suppose que f est dérivable en 0- et en 0+?
car j'ai pris le prolongement de f en 0 qui est continu en 0 donc f(0)=lim f en 0-=lim f en 0+=1.
donc tu peux réécrire, si tu veux, tout en 0- ou en 0+ à condition que f soit supposée dérivable (en 0- et en 0+) ou (en 0).
Revois ton cours tu vas trouver que l'écriture est la même, c'est le choix de la limite qui change.
(En plus tu as oublié la limite dans ton équation!!!)
Càd:
f'(0-)=lim[x->0, X<0] (f(x)-f(0))/(x-0))
f'(0+)=lim[x->0, X>0] (f(x)-f(0))/(x-0))
f'(0)=lim[x->0] (f(x)-f(0))/(x-0))
j'ai répondu à ta question?
Oui, mon soucis est réglé, je te remercie !
