Salut à tous je ne parviens pas à répondre à la troisième question de l'exercice ci-dessous.
EN 2), j'arrive aux couples, (c;d)(3;2)(4;3) etc... f(x)= x-1
L'ensemble des points M est une droite parallèle à y=x
C'est en 3) que je suis un peu coincé...
L'implication
Si [1], alors d(a-1)=b(c-1)
Si a = c, alors b = d ou a=c=1. Dans les 2 cas on a bien soit concourantes (car d= d' et les deux coupent forcément y=x car a pas égal à 1 ou a=c=1 et alors les trois sont parallèles)
Si a différent de c, d=b*(c-1)/(a-1).
On sait que d et d' sont concourantes car a différent de c donc leur point commun est en
ax+b=cx+b*(c-1)/(a-1)
donc x=-b
On remet ça et on obtient y = b(1-a) donc le point de rencontre entre d et d' a pour coordonnées (-b;b(1-a))
Si b = 0, alors tout le monde concoure en l'origine.
Si b différent de 0, l'équation de d' donne que y du point de rencontre = -cb+b*(c-1)/(a-1)
donc b(1-a)=-cb+b*(c-1)/(a-1)
ce qui donne c(2-a) = b(2-a)
Soit a = 2, et on a bien que -b=b(1-a) donc y=x concoure aussi en ce point, soit a différent de 2, et a=c, ce qui est absurde puisqu'on a supposé le contraire (ou tu reviens au cas précédent, comme tu préfères)
L'implication inverse:
Si toutes les droites sont concourantes, elles ont un point en commun tel que x=y ce qui amène
x=ax+b et x=cx+d donc x=b/(1-a) ou a=1
si a différent de 1, x=b/(1-a) amène l'égalité d(a-1)=b(c-1), en réinjectant le x=b/(1-a) dans ax+b=cx+d et tout va bien,
Si a = 1, on a b=0 et on a bien fog = gof puisque f est la fonction identité.
Voilà!
