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limite d'une fonction



  1. #1
    Bastien

    bonjour
    je recherche la limite en +inf de cette fontion

    f(x)= x^(1/4) - (ln x)^3

    en fait je tombe toujours sur une forme indéterminée par le passage à

    f(x) = e^((1/4)ln(x)) - e^(ln(ln(x)))
    f(x) = e^(ln(x)) . (1/x^(3/4) - ln(x3)/x)

    on a toujours ici une forme indéterminée inf/inf
    avez vous une petite idée???

    merci

    -----

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  3. #2
    Neutrino

    moi j'aurais évacué le problème avec les croissances comparées de x^n et ln x... mais il y a cette puissance sur le ln x qui me dérange énormément!
    Neutrino

  4. #3
    Bastien

    c vrai que c trop chaud ce truc
    on pourrais parler aussi en comparant les exposants et en disant que comme ln est au cube il l'emporte sr la puissance 1/4 et donc que l'ensemble tend vers -inf???

  5. #4
    Bastien

    non c po possible, car tout ça tend vers l'inf

    fo-t-il utiliser les règles de Lhospital???

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Chrysander

    Salut à tous !

    En divisant par x^(1/4) on obtient facilement la solution :

    x^(1/4) - (ln x)^3 = x^(1/4) x [ 1 - ln(x)^3 / x^(1/4) ]

    Or, x^(1/4) tend vers +inf et ln(x)^3 / x^(1/4) vers 0. Pourquoi? je crois que ca viens de :

    lim ln(x)/x = 0
    x->0

    (promis, je cherche le raisonnement).

    En tout cas, on trouve que la limite de f(x) est +inf, ce que me donne ma calculatrice.

    En plus, je dirais que c'été à prévoir car j'ai entendu dire un jour que la fonction logarithme été toujours inférieur à un polynome (en gros : ln(x)^n < x^m; avec m>0), ce qui dois facilement se démontrer par un tableau de signe.

    Chrysander,
    heureux de retrouver les limites après deux mois d'absences !
    L'Univers est assez grand pour que rien ne soit impossible

  8. #6
    Bastien

    oups

    j'ai trouvé depuis longtemps en fait....

    il suffit de factoriser pas x^(1/4) et le tour est joué

    merci quand même

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  10. #7
    Chrysander

    De rien, c'est cool quand même : ca m'a fais revoir les limites !
    Sinon, il y a une autre solution, je doute que tu connaisse, c'est les devellopement limité. En gros, tu assimile ln(x)^3 à un polynome (après avoir fait plein de dérivé). Ensuite, ben, tu transforme dans la limite.
    L'Univers est assez grand pour que rien ne soit impossible

  11. #8
    Quinto

    Citation Envoyé par Chrysander
    De rien, c'est cool quand même : ca m'a fais revoir les limites !
    Sinon, il y a une autre solution, je doute que tu connaisse, c'est les devellopement limité. En gros, tu assimile ln(x)^3 à un polynome (après avoir fait plein de dérivé). Ensuite, ben, tu transforme dans la limite.
    Et comment ferais tu ici?

  12. #9
    guizmo

    Salut,
    Je suis en première et je dirai que cette limite ne me cause pas beaucoup ops: mais est-ce que quelqu'un pourrait si il existe un ou plusieurs théorème pour lever les formes indéterminées ("l'infini/l'infini"; "0/0"; l'infini+(-l'infini)) qui sont fréquentes pour les fonctions polynômes et rationnelles?

  13. #10
    Jarod

    Par exemple si tu as des "x" au dénominateur et au numérateur,il suffit de factoiser par l'enemi "x" et hop il s'envole!
    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...

  14. #11
    Coincoin

    Et plus généralement, si tu as des poynomes de degré n dans ta fraction rationnelle, il suffit de factoriser par x^n (pour la limite en l'infini)

  15. #12
    guizmo

    Mon problème n'est pas la factorisation...
    Je suis d'accord mais ce que je remarque, c'est que pour les polynômes, en factorisant, tu trouves une limite qui est la même que si tu n'étudies que la limite du x qui as le plus gros exposant.
    Par exemple, pour f(x)=x²-3x+2, si x tend vers (+ l'infini), que tu fasses par la factorisation ou en prenant x², tu trouves toujours (+ l'infini).
    Peux-tu donc en déduire un théorème du style que pour calculer la limite d'un polynôme, tu ne prends que l'exposant le plus grand?
    Est-ce qu'il y a aussi une astuce pour les fonctions rationnelles car il s'agit du quotient de poynômes?
    Merci d'avance.

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  17. #13
    Jarod

    Salut!

    Voilà le théorème que j'ai trouvé dans mon cours de l'an dernier...!

    "A l'infini,la limite d'un polynôme est celle de son monôme de plus haut degré;la limite d'un quotient de polynômes est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur."

    Voili,je crois que tu as ta réponse.

    ++
    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...

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