Géométrie de l'espace

[inviteb55a2a32]

Je n'arrive pas à resoudre deux exercices en maths. Je ne veux pas que l'on me donne les réponses, mais juste quelques pistes afin de pouvoir débuter et avancer. Merci d'avance.

Exercice 1:

Soit la sphère (S) de centre C( 1 ; 2 ; -3 ) et de rayon 3
1) Justifier, soit par un raisonnement géométrique, soit par calcul analytique, que (S) coupe le plan d'équation y = 4 selon un cercle C
2) Déterminez le centre et le rayon du cercle C



Exercice 2:
ABCDEFGH est un cobe et ( A ; AB ; AD ; AE ) un repère orthonormal de l'espace. Soit I le milieude [EH] et R le point d'intersection des droites (EG) et (FI). Soit J le milieu de [CG] et S le point d'intersection des droites (CH) et (JD).

(Pour la figure voir l'image attachée)


1. Déterminer la distance RS
2. Soit M un point variable du segment [GH]. On pose HM = x
Pour quelle valeur de x, la distance RM + MS est elle minimale?
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[invite6e71eaf9]

Je n'arrive pas à resoudre deux exercices en maths. Je ne veux pas que l'on me donne les réponses, mais juste quelques pistes afin de pouvoir débuter et avancer. Merci d'avance.

Exercice 1:

Soit la sphère (S) de centre C( 1 ; 2 ; -3 ) et de rayon 3
1) Justifier, soit par un raisonnement géométrique, soit par calcul analytique, que (S) coupe le plan d'équation y = 4 selon un cercle C

détermine une équation de la sphère de la forme : (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r² où (a,b,c) sont les coordonnées du centre de la sphère et r son rayon.
soit un point M(x,y,z) appartenant au plan d'équation y=4 et à la sphère, tu devrais pouvoir déterminer une équation pour les coordonnées de M correspondant à l'équation d'un cercle.

pour le 2) utilise l'équation du cercle que tu as trouvé pour déterminer ce qu'ils te demandent.

[invite34b13e1b]

Alors pour l'exercice 1,
il me semble que l'on peut partir en introduisant un point M de coordonnées (x,y,z) dans l'espace et que l'on supposera appartenir à (S) et au plan d'équation y=4 que l'on peut appeler (P).
Après, il suffit de traduire:

[invite6e71eaf9]

S le point d'intersection des droites (CH) et (JD).

(Pour la figure voir l'image attachée)

(CH) et (JD) ne sont pas secantes et je ne vois pas la pièce jointe avec l'exo desolé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6e71eaf9]

(CH) et (JD) ne sont pas secantes et je ne vois pas la pièce jointe avec l'exo desolé

Mes points n'étaient pas placés de la même manière que sur ta figure excuses moi pour cette remarque.
pour le 1) il s'agit simplement d'exprimer RS en fonction des axes AB, AD et AE

[inviteb55a2a32]

Alors pour l'exercice 1, j'ai réussi à trouver. Enfin je pense. Faut-il trouver que le rayon du cercle est de racine5, et son centre, que je vais nommer I de coordonnées ( 1;4;-3)?

Par contre, pour l'exercice 2 (désolé, je n'arrive pas à rattacher l'image), je ne comprend pas du tout. Je sais qu'il faut trouver les coordonnées de R et de S, et appliquer la formule RS= racine de (xs-xr)²+ (ys-yr)²+ (zs-zr)². On sait, que pour R, z=1, et pour S, y=1. Comment faire pour trouver les autres coordonnées de ces points?!
Pour le 2), je n'ai aucune piste.

[invite6e71eaf9]

Alors pour l'exercice 1, j'ai réussi à trouver. Enfin je pense. Faut-il trouver que le rayon du cercle est de racine5, et son centre, que je vais nommer I de coordonnées ( 1;4;-3)?

C'est tout à fait correct.

[inviteb55a2a32]

C'est tout à fait correct.

Cela me rassure. Merci =)

[invite6e71eaf9]

Pour l'exo 2) je viens de refaire la figure:
Ton idée est bonne, pour trouver les coordonnées de R il suffit de determiner une equation paramétrique des droites (IF) et (EG), R est l'intersection de ces deux droites donc tu peux en déduire des coordonnées facilement . Pour S c'est pareil.

[invite6e71eaf9]

Pour le 2:
M appartient à (HG) donc je te propose de déterminer une equation paramétrique de (HG) , de dire que les coordonnées de M vérifient ces relations et d'étudier la fonction RM + MS avec les coordonnées de R, S et M.
Le minimum de cette fonction sera la valeur de x pour laquelle la distance RM + MS est minimale.

[inviteb55a2a32]

Pour R, j'ai trouvé (1/3;1/3;1).
Pour S, j'ai trouvé (2/3;1;1/3).
Et donc pour RS=1?

Par contre, pouvez-vous m'expliquer, ce que c'est une équation paramétrique? Car je n'ai jamais appliqué une telle équation.

[invite6e71eaf9]

Les coordonnées que tu as trouvées sont justes ainsi que la longueur RS.

Soit A un point de coordonnées (x0;y0;z0), u un vecteur non nul de coordonnées (a;b;c) et D la droite passant par A et de vecteur directeur u.
Un point M de coordonnées (x;y;z) appartient à la droite D si et seulement si il existe un réel t tel que :

x=x0+ta
y=y0+tb
z=z0+tc

Par exemple pour les droites (IF) et (EG) de ton exo on avait:
EG(1,1,0) et E (0,0,1)
donc une équation paramétrique de (EG) est :
x=t1+0=t1
y=t1+0=t1
z=0t1+1=1

IF(1,-1/2,0) et F(1,0,1)
donc une équation paramétrique de (IF) est:
x=t2+0=t2
y=(-1/2)t2+1/2
z=0t2+1=1

on a donc
x=t1=t2
y=(-1/2)t2+1/2=t1
z=1

soit :
t1=t2
et
(3/2)t2=1/2

d'où:
t1=t2=1/3

par conséquent R(1/3;1/3;1)

Mais si tu ne l'as pas appris ne l'utilise pas.

[inviteb55a2a32]

Oui, effectivement, je n'ai jamais appris.

[invite6e71eaf9]

Sinon utilise simplement l'équation cartésienne de ces droites, ca revient au même.
Si tu veux de l'aide pour le 2. hesites pas.

[inviteb55a2a32]

Cela est bon si j'utilise l'équation y=ax+b?

Par contre, pour le 2), je n'ai rien compris.

[invite6e71eaf9]

Cela est bon si j'utilise l'équation y=ax+b?

Par contre, pour le 2), je n'ai rien compris.

En fait il faut que tu utilise la propriété suivante : soit un point M(x,y,z) appartenant à une droite (AB) dont les coordonnées de A et B sont connues, les vecteurs AM et AB sont colinéaires.
Si on a A(xa;ya;za) et B(xb;yb;zb) ça nous donne :
AB(xb-xa;yb-ya;zb-za)
AM(x-xa;y-ya;z-za)

donc:
(xb-xa)k=(x-xa)
(yb-ya)k=(y-ya)
(zb-za)k=(z-za)

soit: (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya)=(z-za)/(zb-za)

x(1/(xb-xa))+y(-1/(yb-ya))+z(-1/(zb-za))-xa/(xb-xa)+ya/(yb-ya)+za/(zb-za)=0

ce qui est une équation de droite de la frome ax +by+cz+d=0

Si c'est pas clair je te donne un exemple:
dans ton exo tu veux définir une equation des droites (IF) et (EG) pour en déduire les coordonnées de R:
IF(1,-1/2,0), F(1,0,1) et I(0;1/2;1)
R(x,y,z) appartient à (IF).
IR(x;y-1/2;z-1)

IR et IF sont colinéaires donc il existe k appartenant à R tel que:
x=k
y-1/2=-k/2
z-1=0

soit :
y-1/2=-x/2
z=1

une équation de (IF) est donc y=-x/2+1/2 avec z=1

Procédons de même pour (EG):
EG(1,1,0), E (0,0,1) et G(1,1,1)
R(x,y,z) appartient à (EG).
ER(x;y;z-1)

ER et EG sont colinéaires donc il existe k' appartenant à R tel que:

x=k'
y=k'
z-1=0

donc une équation de (EG) est y=x avec z=1

donc les coordonnées de R verifient : y=x=-x/2+1/2 et z=1
soit: (3/2)x =1/2
x=1/3
y=x=1/3

donc les coordonnées de R sont (1/3;1/3;1)

ca peut paraître long comme ca mais ca va très vite une fois que tu as compris

[inviteb55a2a32]

J'ai compris =), je vais refaire la même chose afin d'obtenir les coordonnées de S à savoir (2/3;1;1/3). Je vous dirais, si je retrouve ce résultat.
Pour le 2) faut-il utiliser ces résultats, ainsi que la distance de RS=1?
RM+MS n'est-il pas minimal lorque RMS est un triangle rectangle? Donc quand x=1/2 [HG]?! Après, comment réussir à prouver cela, je ne vois pas trop.

[invite6e71eaf9]

Pour le 2. je te propose de procéder de la façon suivante:

Tout d'abord on exprime RM et MS:
soit M(x,y,z)
M appartient à (HG).
donc M(x,1,1)

RM(x-1/3;1-1/3;1)
RM(x-1;2/3;0)

donc RM=racine ((x-1)²+(2/3)²+1²)
RM=racine ((x-1)²+4/9)

de même : MS(2/3-x;0;-2/3)
MS= racine ((2/3-x)²+4/9)

donc RM+MS=racine ((2/3-x)²+4/9)+racine ((x-1)²+4/9)

soit f(x)=racine ((2/3-x)²+4/9)+racine ((x-1)²+4/9)
étudies les variations de f et déduis en un minimum de f sur R+.
ce minimum est la valeur de x pour laquelle la distance RM + MS est minimale.

[inviteb55a2a32]

Merci pour votre grande aide. J'ai réussi à tout finir. Encore merci.