spé maths [TS] surfaces/arithmétique

[invitedf72373e]

Bonjour,
Je voudrais résoudre un exercice type bac mais je suis bloquée à l'avant dernière question.
En fait dans cet exo on veut trouver les points d'intersection d'une surface S d'équation z=x²+y² et d'un plan d'équation z=1025 dont les coordonnées sont entières (x et y sont des entiers naturels).
Dans les questions précédentes j'ai réussi à démontrer que :
1) si x et y ne sont pas premiers entre eux alors leur seul diviseur premier commun est 5.
2) x et y appartiennent à [1;32]
3) x et y sont de parités différentes

On suppose que x est pair et y est impair.
On me demande de démontrer que x est un multiple de 4. Pour ça il faut démontrer que le reste de la division euclidienne de x par 4 n'est pas 2 (on élimine 1 et 3 puisque x est pair).
Et là je bloque! J'ai essayé de plusieurs façons (en résolvant x²+y²=1025 avec x=4q+2 ou alors avec les congruences) mais rien ne marche! Auriez vous une idée??

Sinon la dernière question c'est de trouver les couples (x;y) solutions. Moi je ne vois que x=20 (puisque x est un multiple de 4 et de 5 dans [1;32]) et donc y=25.

Merci d'avance pour vos conseils ^^!
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[invite6e71eaf9]

1) si x et y ne sont pas premiers entre eux alors leur seul diviseur premier commun est 5.

Bonjour,
deux nombres ne sont pas premiers entre eux si ils n'ont aucun diviseur premier en commun. Cette phrase n'a donc aucun sens.

Si x=4k+2 alors :
x²=16k²+4+16k=4(4k²+1+4k)
y impair donc y peut s'écrire y=2k'+1
y²= 4k'²+1+4k'
on a donc : 4(4k²+1+4k)+ 4k'²+1+4k'= 1025
soit: 4(4k²+1+4k)+ 4k'²+4k'= 1024=4x256

4k²+1+4k+k'²+k'=256
4k²+4k+k'²+k'=255

4k²+4k etant pair quel que soit k, si k' est pair alors 4k²+4k+k'²+k'=255 est impossible

si k' est impair alors il peut s'ecrire k'=2k"+1
k'²+k'=4k"+1+4k"+2k"+1
donc k'²+k' est pair si k' est impair ou pair, c'est-à-dire pour tout k'.

donc 4k²+4k+k'²+k'=255 est impossible
x=4k+2 n'est donc pas solution de x²+y²=1025.

Tu peux aussi le faire avec des congruences...

[invitedf72373e]

Merci beaucoup.
En fait j'avais essayé avec cette méthode mais je m'étais arrêté parce que je n'avais pas pensé à démontrer que c'était impossible en fonction du signe de k'.

Merci encore ^^

[Flyingsquirrel]

deux nombres ne sont pas premiers entre eux si ils n'ont aucun diviseur premier en commun.

C'est plutôt : deux nombres ne sont pas premiers entre eux s'ils ont un diviseur commun.

(le diviseur en question peut être premier ou non, ça ne change rien)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

C'est plutôt : deux nombres ne sont pas premiers entre eux s'ils ont un diviseur commun.

Différent de 1 le diviseur commun...

[invite6e71eaf9]

C'est plutôt : deux nombres ne sont pas premiers entre eux s'ils ont un diviseur commun.

(le diviseur en question peut être premier ou non, ça ne change rien)

Oui j'ai mal lu dsl