Calcul d'intégrale et de primitive TS

invite2083ce61 · 01/05/2009, 11h43

Bonjour à tous, je dois calculer une intégrale, mais j'ai quelques petits soucis... Pourriez vous jeter un coup d'oeil?

Calculer I= {3 (2x/(x² -1)²) lnx dx
;;;;;;;,,,,,,,,,,,, 2

En sachant que la réponse est I= (17/6 ln 2) - (13/8 ln 3)

=> I =[-lnx/x²-1] (des bornes 2 à 3)-intégrale (de 2 à 3) (-1/x(x²-1)²) dx

=> Sachant que la primitive de 1/x(x²-1) est -ln (x) +1/2 ln (x+1) +1/2 ln (x-1) alors :

=> I=(-ln 3)/(3²-1) -(-ln2/2²-1) -[ln3 +1/2 ln(3+1) +1/2 ln(3-1)] - [-(ln 2 +1/2 ln (2+1) +1/2 ln(2-1)]

=> I = (-ln 3/8) + (ln 2/3) - ln3 +(1/2 ln4) + (1/2 ln 2) + ln 2 + (1/2 ln 3) + (1/2 ln1)

En développant et réduisant, je ne trouve pas la réponse attendue...

Merci de votre aide...

invite57daf81a · 01/05/2009, 12h47

Intégration par partie.

(2x/(x² -1)²) lnx

u= lnx u'=1/x
v'=2x/(x²-1)² v=-1/x²-1

I=[ -lnx / ( x²-1) ] -int -1/x(x²-1)

on est d'accord

La suite arrive xD

invite2083ce61 · 01/05/2009, 12h54

Bonjour, merci pour votre réponse.

Cela qui signifie que jusque là, j'ai bon?

Comment expliquer que je ne trouve pas la réponse attendue alors ?

Merci encore !

invite57daf81a · 01/05/2009, 12h58

Oui je re ce soir dsl j'ai pas le temps la ;p

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2083ce61 · 01/05/2009, 13h00

D'accord à ce soir alors. Merci et bonne journée

**invite1237a629** · 01/05/2009, 16h26

Comment ça intégration par parties ?

Tu remarques que 2x est la dérivée de x²-1.

Donc tu as quelque chose de la forme $\text{[math]}$ , dont une primitive est bien connue...

invite2083ce61 · 01/05/2009, 16h30

Bonjour, oui je l'avais remarqué seulement une fois développé et réduit, je ne trouve pas la réponse attendue. Savez vous pourquoi?

Merci d'avance

**invite1237a629** · 01/05/2009, 16h31

Salut,

Montre tes calculs, et nous en discuterons

invite2083ce61 · 01/05/2009, 16h36

Alors il faut que je calcule I= intégrale allant de 2 à 3 (2x/(x²-1)²)lnx dx

c'est de la forme intégrale allant de a à b (u'v)= [uv] allant de a à b - intégrale allant de a à b (uv')

avec u = ln x v(x) = -1/(x²-1)
u' = 1/x v'(x) = 2/(x²-1)²

Donc I= [ -ln x/ (x²-1)] allant de 2 à 3 - intégrale allant de 2 à 3 (-1/x(x²-1)) dx

Jusque là je pense que c'est juste.... ?

**invite1237a629** · 01/05/2009, 16h43

La méthode que je suggérais n'est justement pas une intégration par parties.

C'est une simple reconnaissance de primitive (http://fr.wikipedia.org/wiki/Primiti...compos.C3.A9es)

Cela revient en fait à faire un changement de variables, mais si je me souviens bien, ce n'est pas abordé en terminale...

invite2083ce61 · 01/05/2009, 16h45

Ok mais comment faire dans ce cas (j'étais absente au cours à cause de pb personnels et même en apprenant mon cours et en essayant de faire des exercices, je galère)...

Merci

**invite1237a629** · 01/05/2009, 17h00

Envoyé par choubidou16

Ok mais comment faire dans ce cas (j'étais absente au cours à cause de pb personnels et même en apprenant mon cours et en essayant de faire des exercices, je galère)...

Merci

Je vais essayer d'expliquer...sois indulgent(e) ^^

La dérivée par rapport à x de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$
Ceci te paraîtra peut-être plus clair si on parle de la dérivée de $\text{[math]}$ , qui serait $\text{[math]}$

(pour tout nombre a, la dérivée de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ )

Donc quelque chose de la forme $\text{[math]}$ aura une primitive de la forme : $\text{[math]}$

invite2083ce61 · 01/05/2009, 17h04

Pas besoin d'être indulgente, c'est bien expliqué

Merci mais le problème reste mon calcul d'intégrale ... :s comment le réaliser avec votre explication ?

Merci de votre patience

**invite1237a629** · 01/05/2009, 17h10

En remarquant qu'ici, tu as quelque chose de la forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$

C'est censé aller comme sur des roulettes si tu as compris ce qui est au-dessus

**invite1237a629** · 01/05/2009, 17h12

Bon... je me tais.

je n'avais pas vu le ln(x)

invite2083ce61 · 01/05/2009, 17h13

Arf...Je l'avais oublié aussi lui...

invite2083ce61 · 01/05/2009, 17h14

On est certainement obligé d'utiliser l'IPP. Non?

**invite1237a629** · 01/05/2009, 17h17

Après ce petit intermède teinté d'inattention honteuse, revenons à nos moutons

(et je te prie de m'excuser pour la maladresse

)

Il faut bien faire une intégration par parties

=> I =[-lnx/x²-1] (des bornes 2 à 3)-intégrale (de 2 à 3) (-1/x(x²-1)²) dx

=> Sachant que la primitive de 1/x(x²-1) est -ln (x) +1/2 ln (x+1) +1/2 ln (x-1)

Non, la primitive de $\text{[math]}$ n'est pas ce que tu as mis en haut :s
Si tu redérives, tu peux voir que ça donne quelque chose comme $\text{[math]}$

Il s'agit en fait de trouver a,b,c tels que :
$\text{[math]}$
(c'est ce qu'on appelle une décomposition en éléments simples - mais je ne sais pas si vous voyez ça en terminale :s)

Mets tout sur le même dénominateur et tu trouveras un système d'équations à trois inconnues.

invite2083ce61 · 01/05/2009, 17h22

En fait j'ai déjà répondu à cette question :
g(x)=1/x(x²-1)=(a/x) + (b/x+1) + (c/x-1)
Je passe les calculs (presque barbares ^^) et ça donne a = -1, b=c=1/2

La primitive G de g est -ln x +(ln(x+1)+ln(x-1))/2 + C une constante...

Il me déprime cet exercice...

invite2083ce61 · 01/05/2009, 17h35

Je dois y aller, je reviens ce soir. Merci beaucoup.

**invite1237a629** · 01/05/2009, 17h51

Je mérite des baffes...
fautes d'inattention à gogo, fautes d'inattention, fautes d'inattention !

Bref, version définitive, j'ai trouvé tes erreurs:

=> I=(-ln 3)/(3²-1) -(-ln2/2²-1) -[ln3 +1/2 ln(3+1) +1/2 ln(3-1)] - [-(ln 2 +1/2 ln (2+1) +1/2 ln(2-1)]

=> I = (-ln 3/8) + (ln 2/3) - ln3 +(1/2 ln4) + (1/2 ln 2) + ln 2 + (1/2 ln 3) + (1/2 ln1)

Il y a malheureusement des fautes de signes un peu partout

On a :
$\text{[math]}$
(c'est (x²-1) et non (x²-1)²)

Donc en simplifiant les signes - pour la deuxième intégrale, on a:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ça devrait aller beaucoup mieux maintenant ^^
Et par pitié, n'écris pas -(a+b+c)=-a+b+c

invitebe08d051 · 01/05/2009, 23h41

Envoyé par MiMoiMolette

Cela revient en fait à faire un changement de variables, mais si je me souviens bien, ce n'est pas abordé en terminale...

Salut
Juste pour ajouter ceci fait totalement partie du programme TS:
La primitive de $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ est:
$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$

P.S: Je confirme la décomposition en éléments simples fait aussi partie du programme TS.

invitec317278e · 01/05/2009, 23h57

Envoyé par mimo13

La primitive de $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ est:
$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$

Une primitive sur R+* de $\text{[math]}$ , c'est $\text{[math]}$ , peut être ?

P.S: Je confirme la décomposition en éléments simples fait aussi partie du programme TS.

Je serais fort étonné que tu me trouves où c'est marqué dans le programme de TS...

invite2083ce61 · 02/05/2009, 10h02

Merci beaucoup à vous tous.

Je trouve ce principe d'entraide vraiment génial. Bonne journée et bonne continuation.

A bientot avec de nouveaux exercices

Merci encore !

invite9a322bed · 02/05/2009, 10h21

Bonjour,

Pour être clair, Thorin a totalement raison, la DES n'est pas au programme de TS, ce n'est pas une initiative que l'élève doit savoir faire. Cependant, on peut la trouver dans des exercices guidés.

Voilà, Ciao !

invitebe08d051 · 02/05/2009, 13h13

Envoyé par Thorin

Je serais fort étonné que tu me trouves où c'est marqué dans le programme de TS...

Bonjour

Je part du principe que je suis en TS et que notre prof de maths nous a affirmé que c'était essentiel pour un TS de connaitre la DES.

invitec317278e · 03/05/2009, 12h29

Moi, j'ai lu le programme, et il n'en n'est pas fait mention ; et de plus, je doute sérieusement qu'il existe un seul sujet de bac pas trop vieux dans lequel il faut faire une DES sans expliquer au candidat exactement comment faire...

invite2e581411 · 05/05/2009, 01h32

As tu essayé la méthode de substitution trionométrique ??

(x²-1) est de la forme x² - a²

pose x = a sec z
x = 1 sec z
x = sec z
et tu continus ton proble sur la même voie... dx = sec z tan z dz

J'ai pris ca dans mon livre de math...

**invite1237a629** · 07/05/2009, 09h17

Euh et ln(sec( z)) ?

invite2e581411 · 07/05/2009, 14h46

Envoyé par MiMoiMolette

Euh et ln(sec( z)) ?

J'esserais un changement de variable, mais j'avoue que ça compliquerais singulierement les chose

Par exemple sec Z = T
sec Z * tan Z = DT

Je sais pas si ça peut fonctionner, je ne l'ai pas essayer...Mais c'est vraiment la manière la plus logique que je vois...

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